文章目录

前言
素数与同余
- 线性筛部分
- 素数
- 线性递推逆元
- 指数循环节降幂
- 当求逆元时模数与求逆元的数有可能不互质时的处理方法
- 一个神奇的结论
- 拓展欧拉定理
杂乱的一些性质/技巧
- 二进制枚举子集
- 异或前缀和
- O(n)预处理popcount
多项式一类
组合数学
- 卡特兰数通项
- 斯特林数
- 错排公式
- 二项式反演

前言

感觉距离 s c o i 2019 scoi2019 scoi2019的时间不多了博主因为太弱所以现在慌得一批，现在尝试梳理一些小知识点顺便复习。

素数与同余

线性筛部分

常识向，直接贴代码了，大佬们手动跳过吧。
最常用的是线性筛质数。
同时有两种常用的可以线性筛预处理的函数：莫比乌斯函数，欧拉函数。
线性筛代码：

typedef long long ll;
ll prime[N],pri[N],cnt=0,mu[N],phi[N];
inline void init(int len){mu[1]=phi[1]=1;for(int i=2;i<=len;++i){if(!pri[i])prime[++cnt]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;for(int j=1;i*prime[j]<=len;++j){pri[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];mu[i*prime[j]]=0;break;}mu[k]=-mu[i];phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);}}
}

素数

线性递推逆元

指数循环节降幂

当求逆元时模数与求逆元的数有可能不互质时的处理方法

一个神奇的结论

有个结论，对于 m >= 2，与m的互质的数的和为m * phi (m) / 2

拓展欧拉定理

杂乱的一些性质/技巧

二进制枚举子集

这是一个用循环实现的快速枚举子集的方法，代码如下：

for(int i=s;i;i=s&(i-1))

异或前缀和

一个蒟蒻博主听说可以打表证明的性质：
s u m i = i , i ≡ 0 m o d    4 sum_i=i,i\equiv0 \mod4 sumi=i,i≡0mod4
s u m i = 1 , i ≡ 1 m o d    4 sum_i=1,i\equiv1 \mod4 sumi=1,i≡1mod4
s u m i = i + 1 , i ≡ 2 m o d    4 sum_i=i+1,i\equiv2 \mod4 sumi=i+1,i≡2mod4
s u m i = 0 , i ≡ 3 m o d    4 sum_i=0,i\equiv3 \mod4 sumi=0,i≡3mod4
感觉挺有用的

O(n)预处理popcount

p o p c o u n t ( x ) popcount(x) popcount(x)指 x x x在二进制形式中二进制位为 1 1 1的数量。
直接处理是 O ( l o g x ) O(log_x) O(logx)的，但是可以 O ( a m a x ) O(a_{max}) O(amax)预处理。
代码：

for(int i=1;i<=lim;++i)Popcount[i]=Popcount[i>>1]+(i&1);

原理很简单（逃

多项式一类

因为太多之前特意写了一篇博客 才不是骗访问量呢

组合数学

卡特兰数通项

C a t n = C 2 n n − C 2 n n − 1 = C 2 n n n + 1 Cat_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1} Catn=C2nn−C2nn−1=n+1C2nn

斯特林数

两类可以用 f f t fft fft预处理做到 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)
但是一般都只用 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)（雾
下面给出递推式：
第一类斯特林数递推式：

第二类斯特林数递推式：

第一类斯特林数详细小结
第二类斯特林数详细小结

错排公式

看了这道题你就懂了。
递推式： f i = ( i − 1 ) ( f i − 1 + f i − 2 ) f_i=(i-1)(f_{i-1}+f_{i-2}) fi=(i−1)(fi−1+fi−2)

二项式反演

f n = ∑ i = 0 n ( n i ) g i f_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g_i fn=∑i=0n(in)gi
=> g n = ∑ i = 0 n ( ( − 1 ) i ( n n − i ) f i ) g_n=\sum_{i=0}^n((-1)^i\binom{n}{n-i}f_i) gn=∑i=0n((−1)i(n−in)fi)
可以看这道题简单体会一下。

数学小知识点整理（TBC）相关推荐

JS,JQ,PHP的小知识点整理
在日常开发中所使用的JS,JQ,PHP的小知识点整理持续更新-- 1.js和jq获取当前的时间戳方法一: <script>var timestamp = Date.parse(new ...
IOS 一些小知识点整理
NSArray 类定义的方法 1. makeObjectsPerformSelector:@select(aMethod) 让数组中的每个元素都调用 aMethod 2. makeObjectsP ...
高一数学集合知识点整理_高一数学 | 高一数学函数图像知识点总结，实用！
高一数学 | 高一数学函数图像知识点总结,实用! 一.基本初等函数的图像 1.一次函数性质:一次函数图像是直线,当k>0时,函数单调递增:当k<0时,函数单调递减 2.二次函数性质:二 ...
高一数学集合知识点整理_高一 | 数学 “集合”知识点总结及归纳~
集合是数学中最基本的概念,它已渗透到自然科学的各个领域,应用十分广泛.在集合学习过程中,若能够明确和运用常见的数学思想方法,就能够更深刻地理解集合概念,更全面地渗透集合观念,更灵活地解决集合问题. 一 ...
高一数学集合知识点整理_高一数学知识点总结
高一数学知识总结必修一一.集合一.集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P ...
求职之C++小知识点整理
1.顺序容器 1.顺序容器:vector,deque,list,forward_list,array,string.其中除list和forward_list外,其它都支持快速随机访问. deque a ...
springmvc学习（小知识点整理）
我们客户端经常是会收到服务器返回的json数据这个时候,我们很多时候都是直接使用便可,但有时我们也需要向服务器发送json数据,这个时候获取表单数据并转换为json数据就很有必要了前台json和js ...
python selenium 小知识点整理笔记（更新中...）
1.python selenium 获取JS中返回的变量值: # 获取某节点中返回的子节点长度 clsroomNum = self.driver.execute_script("return ...
081200计算机科学与技术——301数学，知识点整理【更新中】
文章目录函数函数的有界性函数的单调性函数的奇偶性函数的周期性取整函数反函数复合函数基本初等函数初等函数数列的定义数列极限收敛数列的性质函数极限函数极限的性质更新中 p7 ...

数学小知识点整理（TBC）