集合是数学中最基本的概念，它已渗透到自然科学的各个领域，应用十分广泛。在集合学习过程中，若能够明确和运用常见的数学思想方法，就能够更深刻地理解集合概念，更全面地渗透集合观念，更灵活地解决集合问题。

一、集合的含义

一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。

通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素。

二、集合中元素的特性

1.确定性：

集合中的元素必须是确定的。即确定了一个集合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就确定了。

2.互异性：

集合中的元素是互异的，即集合元素是没有重复现象的(互不相同)。

3.无序性：

集合中的元素是不讲顺序的，即元素完全相同的两个集合，不论元素顺序如何，都表示同一个集合(不考虑顺序)。

三、元素与集合的关系

1.a属于集合A，表述为a是集合A的元素，记作a∈A。

2.a不属于集合A，表述为a不是集合A的元素，记作a∉A。

四、集合的表示

1.自然语言表示法：1~20以内的质数组成的集合。

2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，以逗号隔开，并用花括号“{}”括起来的表示集合的方法叫做列举法。

3.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。

4.Venn图示法 ：

如：“book中的字母” 构成一个集合

五、集合的基本运算

1.交集：集合中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集记作A∩B，读作A交B。

2.并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。

3.相对补集：若A和B是集合，则A在B中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A = { x| x∈B且x∉A}。

4.绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集(或简称补集)，写作∁UA。

5.子集：子回集是一个数学概念。如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

六、交集和并集知识点解析

1.理解交集的概念应关注四点

(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素。

(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出。

(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅。

(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B，而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B。

2.并集的运算技巧

(1)若集合中的元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性。

(2)若集合中的元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值。

3.交集的运算技巧

(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合。

(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性。

4.交集和并集的性质应用技巧

对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B⊆A，反之也成立；若A∩B＝B，则B⊆A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解。

七、全集及补集

1.全集的定义及表示

(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。

(2)符号表示：全集通常记作U。

2.对全集概念的理解

“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的。

3.补集

(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算。求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念。

(2)∁UA包含三层意思：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合。

(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一。

4.解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解。在解答过程中常常借助于Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象且不易出错。

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算，但在解答过程中要注意边界问题。

5.利用补集求参数应注意两点

(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形。

(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集。

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