多元函数第四：欧式几何（1）柯西不等式（Cauchy不等式），三角不等式

柯西不等式是欧式几何中最基本，也是最重要的不等式。它的重要之处，不仅在于该结论本身应用之广泛；也在于它的证明思想对于其他定理的证明，有极大的借鉴意义。例如，在以后介绍的凸集的支撑超平面定理中，就会用到柯西不等式的证明思想。

柯西(Cauchy)不等式：对于n维空间上的任意两个向量xxx和yyy都有
∣xTy∣≤∣x∣∣y∣|x^Ty|\leq |x||y|∣xTy∣≤∣x∣∣y∣
其中
xTy=∑i=1nxiyix^Ty=\sum_{i=1}^nx_iy_ixTy=i=1∑nxiyi
是向量xxx和yyy的內积，∣x∣|x|∣x∣是向量xxx的2范数，也即
∣x∣=xTx=∑i=1nxi2.|x|=\sqrt{x^Tx}=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}.∣x∣=xTx=i=1∑nxi2.

注意. 在我们的符号中，当a∈Ra\in\mathbb{R}a∈R时，∣a∣|a|∣a∣表示aaa的绝对值。例如xTyx^TyxTy就是內积xTyx^TyxTy的绝对值。这种表示方法，与2范数的表示方法是一致的。因为，如果我们把aaa看做是1维向量，那么它的2范数就是∣a∣=a2|a|=\sqrt{a^2}∣a∣=a2。

证明，对任意的实数t∈Rt\in\mathbb{R}t∈R,都有
(x+ty)T(x+ty)=∣x+ty∣2≥0(x+ty)^T(x+ty)=|x+ty|^2\geq 0(x+ty)T(x+ty)=∣x+ty∣2≥0
将上式左边按多项式展开即得
yTy⋅t2+2xTy⋅t+xTx≥0y^Ty \cdot t^2 + 2x^Ty \cdot t + x^Tx \geq 0yTy⋅t2+2xTy⋅t+xTx≥0
也即
∣y∣2⋅t2+2xTy⋅t+∣x∣2≥0|y|^2 \cdot t^2 + 2x^Ty \cdot t + |x|^2 \geq 0∣y∣2⋅t2+2xTy⋅t+∣x∣2≥0
对所有的ttt成立。为了使得上式左边最小，取t=−xTy∣y∣2t=-\frac{x^Ty}{|y|^2}t=−∣y∣2xTy便有
−(xTy)2∣y∣2+∣x∣2≥0.-\frac{(x^Ty)^2}{|y|^2} + |x|^2\geq 0. −∣y∣2(xTy)2+∣x∣2≥0.
整理即得
(xTy)2≤∣x∣2∣y∣2.(x^Ty)^2 \leq |x|^2|y|^2. (xTy)2≤∣x∣2∣y∣2.
证毕。

三角不等式，其实是柯西不等式的直接推论。

三角不等式. 对于任意的n维向量xxx和yyy有
∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣.|x+y| \leq |x| + |y|.∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣.
证明. 将上式两边分别平方便有
∣x+y∣2=(x+y)T(x+y)=∣x∣2+∣y∣2+2xTy|x+y|^2=(x+y)^T(x+y)=|x|^2 + |y|^2 +2x^Ty ∣x+y∣2=(x+y)T(x+y)=∣x∣2+∣y∣2+2xTy
和
（∣x∣+∣y∣)2=∣x∣2+∣y∣2+2∣x∣∣y∣.（|x|+|y|)^2=|x|^2 + |y|^2 +2|x||y|. （∣x∣+∣y∣)2=∣x∣2+∣y∣2+2∣x∣∣y∣.
由于xTy≤∣x∣∣y∣x^Ty\leq|x||y|xTy≤∣x∣∣y∣，故有
∣x+y∣2≤（∣x∣+∣y∣)2.|x+y|^2 \leq （|x|+|y|)^2. ∣x+y∣2≤（∣x∣+∣y∣)2.
证毕。

我们都知道，三角不等式的一个重要推广，是赫赫有名的余弦定理。由于∣xTy∣≤∣x∣∣y∣|x^Ty|\leq|x||y|∣xTy∣≤∣x∣∣y∣，故而有
−1≤xTy∣x∣∣y∣≤1.-1\leq \frac{x^Ty}{|x||y|}\leq1. −1≤∣x∣∣y∣xTy≤1.
这样，若我们令cos(θ)=xTy∣x∣∣y∣cos(\theta)=\frac{x^Ty}{|x||y|}cos(θ)=∣x∣∣y∣xTy便有
∣x+y∣2=(x+y)T(x+y)=∣x∣2+∣y∣2+2∣x∣∣y∣cos(θ)|x+y|^2=(x+y)^T(x+y)=|x|^2 + |y|^2 + 2|x||y|cos(\theta) ∣x+y∣2=(x+y)T(x+y)=∣x∣2+∣y∣2+2∣x∣∣y∣cos(θ)
这里的θ\thetaθ是向量x和y的夹角，如图。

为了得到三角形中的余弦定理，需要令y=−zy=-zy=−z，此时有
∣x−z∣2=∣x∣2+∣z∣2+2∣x∣∣z∣cos(θ)=∣x∣2+∣z∣2−2∣x∣∣z∣cos(θ′)|x-z|^2=|x|^2 + |z|^2 + 2|x||z|cos(\theta)=|x|^2 + |z|^2 - 2|x||z|cos(\theta') ∣x−z∣2=∣x∣2+∣z∣2+2∣x∣∣z∣cos(θ)=∣x∣2+∣z∣2−2∣x∣∣z∣cos(θ′)
这里的θ′=π−θ\theta'=\pi-\thetaθ′=π−θ是向量x和z的夹角，如图。

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