前言

廓清认知：由于三角不等式属于超越不等式，故已经不能和解\(x^2+3x+2>0\)这样的代数不等式的解法同日而语，此时必须借助图像来解决；能借助的图像有三角函数的图像，还可以借助三角函数线来解决，以下用例题加以说明。

一、必备技能

• 函数图像的解读能力

• 作三角函数\(y=sinx\)和\(y=cosx\)的图像、作正弦线、余弦线的能力

• 用不等式表达单位圆中区域的能力

• 用韦恩图求交集的能力

• 转化划归能力

二、模型应用

例1解三角不等式： \(2sinx>1\).

法1：三角函数图像法，将不等式变形为\(sinx>\cfrac{1}{2}\)，在同一个坐标系中做出函数\(y=sinx\)和\(y=\cfrac{1}{2}\)，

由于函数\(y=sinx\)有周期性，故需要不需要画出其完整的图像，只需要做出一个周期上的图像就可以了，

如右图所示，我们选取的周期是\([0，2\pi]\)，从图上可以看出，

当\(sinx>\cfrac{1}{2}\)时，在一个周期内的不等式的解是\(\cfrac{\pi}{6}< x <\cfrac{5\pi}{6}\)，

而题目中\(x\in R\)，故我们还需要做出拓展，那么怎么拓展呢？

函数\(y=\cfrac{1}{2}\)，自然是向左右两端无限延伸的，

函数\(y=sinx\)也是向左右两端按照周期\(T=2\pi\)的整数倍无限延伸的，

故满足题意的不等式的解集绝不仅仅是上述解出的解集，

应该还有，就是把上述的解集也向左右两端按照周期的整数倍延伸，

即\(k \cdot 2\pi+\cfrac{\pi}{6}< x < k \cdot 2\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)，

故所求的不等式的所有解集应该是\(\{x\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{6}< x <2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\}\)；

• 法1的反思提升：

1、周期函数的周期一定要选\([0，2\pi]\)吗？

那倒不一定，原则上只要区间的长度为\(2\pi\)都可以，比如本题还可以选周期为\([-\pi，\pi]\)，这样我们可以看到在一个周期内的不等式的解集是连续的，便于我们的表达刻画。

2、如果解\(sinx<\cfrac{1}{2}\)，周期怎么选？

此时如果还选\([0，2\pi]\)，那就不好，由上图我们可以看出，

此时一个周期内的解集有\([0，\cfrac{\pi}{6})\)，还有\((\cfrac{5\pi}{6}，2\pi]\)，两个解集就没有连续在一起，后续拓展表达很不方便；

那么我们怎么解决这一问题呢？只要选周期为\([\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{5\pi}{2}]\)就可以，

此时一个周期内的解集就可以表达为\(\cfrac{5\pi}{6}< x<\cfrac{13\pi}{6}\)，

再拓展得到\(R\)上的解集为\(2k\pi+\cfrac{5\pi}{6} < x<2(k+1)\pi+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)，

3、如何解不等式\(sin(2x+\cfrac{\pi}{4})>\cfrac{1}{2}\)？

此时，将整体\(2x+\cfrac{\pi}{4}\)看成上述解法中的\(x\)(整体思想)，

先得到\(sinx>\cfrac{1}{2}\)的解集为\(2k\pi+\cfrac{\pi}{6}< x <2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)；

然后回归，得到\(2k\pi+\cfrac{\pi}{6}< 2x+\cfrac{\pi}{4} <2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)；

解上述的双连不等式就得到不等式\(sin(2x+\cfrac{\pi}{4})>\cfrac{1}{2}\)的解集。

请自行解决。

4、如何解不等式：\(\cfrac{1}{2}\cdot sinx+\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosx>\cfrac{1}{2}\).

先将其转化划归为\(sin(x+\cfrac{\pi}{3})>\cfrac{1}{2}\)，

在仿照上例解决即可。

5、如何解不等式\(2cosx<1\)；

借助函数\(y=cosx\)的图像求解即可。

法2：三角函数线法，做出如右图所示的单位圆，在\(y\)轴的正半轴找到\(\cfrac{1}{2}\)，

过此点做\(x\)轴的平行线与单位圆交于点\(P\)和点\(Q\)，

则\(sinx=\cfrac{1}{2}\)时的正弦线是\(MP\)和\(NQ\)，那么\(sinx>\cfrac{1}{2}\)时的角的终边应该落在劣弧\(OPQ\)内部，

故在一个周期内的不等式的解是\(\cfrac{\pi}{6}< x <\cfrac{5\pi}{6}\)，

拓展后得到\(R\)上的解集为\(\{x\mid k \cdot 2\pi+\cfrac{\pi}{6}< x < k \cdot 2\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\}\)；

当然，如果是解不等式\(sinx<\cfrac{1}{2}\) ，则角的终边应该落在优弧\(OPQ\)内，

在一个周期内的不等式的解是\(-\cfrac{7\pi}{6}< x <\cfrac{\pi}{6}\)，

拓展后得到\(R\)上的解集为\(\{x \mid k \cdot 2\pi-\cfrac{7\pi}{6}< x < k \cdot 2\pi+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\}\)；

三、转化为模型

例2解不等式：\(2cos(2x+\cfrac{\pi}{3})<1\)

提示：先想这样的不等式怎么解？\(2cosx<1\)；

然后再思考\(2cos(2x+\cfrac{\pi}{3})<1\)怎么解即可。

例3【可转化为例2】
解不等式：\(\cfrac{1}{2}\cdot sinx+\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosx<\cfrac{1}{2}\).

看看例1中的提示就够了。

四、综合应用

例4求函数\(y=\lg sinx+\sqrt{\cos2x+\frac{1}{2}}\)的定义域。

【解析】三角不等式常用两种解法，利用三角函数线或者三角函数图像，详解如下：

【1、单位圆+三角函数线】

如图所示，由正弦线可知，\(sinx>0\)得到：\(x\in(2k\pi，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)

由余弦线可知，\(cos2x\ge-\cfrac{1}{2}\)

得到：\(2x\in[2k\pi-\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}](k\in Z)\)，

所以\(x\in[k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\\=[2k\pi-\cfrac{\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{4\pi}{3}](k\in Z)\)，

求其交集得到\(x\in(2k\pi，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)

【2、三角函数法】转化为解三角函数不等式组\(\begin{cases} sinx> 0 \\ cos2x+\frac{1}{2}\ge 0\end{cases}\)，

解不等式\(sinx>0\)

得到：\(x\in(2k\pi，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)

解不等式\(cos2x\ge-\cfrac{1}{2}\)

得到：\(2x\in[2k\pi-\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}](k\in Z)\)，

所以\(x\in[k\pi-\cfrac{\pi}{3}，k\pi+\cfrac{\pi}{3}](k\in Z)\)，

求其交集得到\(x\in(2k\pi，2k\pi+\cfrac{\pi}{3}]\bigcup[2k\pi+\cfrac{2\pi}{3}，2k\pi+\pi)(k\in Z)\)

例5【求三角不等式和其他不等式的交集】

求函数\(f(x)=\sqrt{5-|x|}+log_a(sinx-\cfrac{1}{2})\)的定义域。

分析：由题目可知，\(|x|\leq 5①\)，且\(sinx>\cfrac{1}{2}②\)

解①得到\(-5\leq x\leq 5\)；解②得到\(2k\pi+\cfrac{\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)，

二者求交集，如右图所示，

得到定义域为\([-5，-\cfrac{7\pi}{6})\cup (\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6})\) 。

五、相关链接

• 三角方程的解法

例1
解三角方程： \(2sinA=1，A\)为三角形的一个内角。

提示：\(A=\cfrac{\pi}{6}\)或\(A=\cfrac{5\pi}{6}\)

例2
解三角方程： \(2sinA=1\).

提示：\(A=2k\pi+\cfrac{\pi}{6}\)或\(A=2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)。

例3
解三角方程： \(2sin(3A+\cfrac{\pi}{4})=1\).

提示：\(3A+\cfrac{\pi}{4}=2k\pi+\cfrac{\pi}{6}\)或\(3A+\cfrac{\pi}{4}=2k\pi+\cfrac{5\pi}{6}(k\in Z)\)，求解\(A\)即可。