卡特兰数 java,Catalan数(卡特兰数)
由于Catalan数经常会在算法题或面试题中出现,在这里做一下小小的总结。
介绍
Catalan数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。一般项公式为
Cn的另一个表达形式为
一般来讲,我们编程时用递推关系会更方便计算:
或
即:C(n) = C(1)*C(n-1) + C(2)*C(n-2) + … + C(n-1)C(1).
它的前几项为: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796。可以先通过前几项判断问题是否属于卡特兰数。
典型应用 这里有一本书介绍了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。
http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.pdf (英文PDF)
1 括号化问题。矩阵链乘: P=A1×A2×A3×……×An,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?
2 一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
3 将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数(面试题参看算法篇第7题):
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
4 将多边行划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?
5 在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
6 出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、…、n,有多少个不同的出栈序列?
7 有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
8 在n*n的格子中,只在下三角行走,每次横或竖走一格,有多少中走法?
9 一个有n个1和n个-1组成的字串,且前k个数的和均不小于0,那这种字串的总数为多少?
10 给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点,能构成多少种形状不同的二叉树?
(一定是二叉树!先取一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + …… + h(n-1)h(0)=h(n)) (能构成h(N)个)
11 有n+1个叶子的满二叉树的个数?
12 用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数?
13 12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?
就如看到1 1 2 3 5...这样的数列我们就会想到斐波那契数列一样
在面试笔试中,看到1 1 2 5 14 42...我们也应该要想到卡特兰数
Reference:
1. http://www.acmerblog.com/catalan-5196.html
2. http://blog.sina.com.cn/s/blog_7064e7850100y1xf.html
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