ACM教程 - 卡特兰数(Catalan)算法
一、什么是Catalan数(Catalan数是许多计数问题的最终形式)
Catalan序列是一个整数序列,其通项公式是:
递推公式 1:
C(n) = C(1)*C(n-1) + C(2)*C(n-2) + ... + C(n-1)C(1),n>=2
递推公式 2:
令 h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递推式:
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
举例,我们从中取出的 Cn 就叫做第 n 个 Catalan数,前几个 Catalan数 如下:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, …
二、Catalan数 在组合计算中的应用
0、n对括号正确匹配数目?
1、矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,有几种括号化的方案?
2、一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少种不同的出栈序列?
3、n个节点构成的二叉树,共有多少种情形?
4、求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数?
5、在圆上选择2n个点,将这些点成对链接起来使得所得到的n条线段不相交,一共有多少种方法?
6、n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数为h(n)。例如:4×4方格地图中的路径有:
7、n层的阶梯切割为n个矩形的切法数也是Cn。如下图所示:
8、有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少种方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?
9、甲乙两人比赛乒乓球,最后结果为20∶20,问比赛过程中甲始终领先乙的计分情形的种数。
10、2n个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?
三、AC 代码
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;public class Main{public static void main(String[] args) {BigInteger h[]=new BigInteger[205];h[0]=h[1]=BigInteger.ONE;for(int i=2;i<205;i++)h[i]=(h[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(4).multiply(BigInteger.valueOf(i)).subtract(BigInteger.valueOf(2)))).divide(BigInteger.valueOf(i+1));// for(int i=1;i<=15;i++) // 打印输出
// System.out.println(h[i]);Scanner in=new Scanner(System.in);while (in.hasNext()) {int n=in.nextInt();if(n==-1) break;System.out.println(h[n]);}}
}
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