凸包算法详解(convex hull)

一.概念：

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。

在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。

X的凸包可以用X内所有点(X1，...Xn)的线性组合来构造.

在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。

用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。

例子：假设平面上有p0~p12共13个点，过某些点作一个多边形，使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候，我们就叫它“凸包”。如下图：

二.解法：

Graham扫描法

时间复杂度：O(n㏒n)
思路：Graham扫描的思想是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，实际上就是进行极角排序，然后对其查询使用。

步骤：

把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。
计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。
（以上是准备步骤，以下开始求凸包）
以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：
连接P0和栈顶的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。
如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。

　　最后，栈中的元素就是凸包上的点了。
　　以下为用Graham扫描法动态求解的过程：重点！！！

　　下面静态求解过程

三.代码实现

C语言代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define PI 3.1415926535
using namespace std;
struct node
{int x,y;
};
node vex[1000];//存入的所有的点
node stackk[1000];//凸包中所有的点
int xx,yy;
bool cmp1(node a,node b)//排序找第一个点
{if(a.y==b.y)return a.x<b.x;elsereturn a.y<b.y;
}
int cross(node a,node b,node c)//计算叉积
{return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
double dis(node a,node b)//计算距离
{return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)*1.0+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
bool cmp2(node a,node b)//极角排序另一种方法，速度快
{if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx))return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx));return a.x<b.x;
}
bool cmp(node a,node b)//极角排序
{int m=cross(vex[0],a,b);if(m>0)return 1;else if(m==0&&dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0)return 1;else return 0;/*if(m==0)return dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0?true:false;elsereturn m>0?true:false;*/
}
int main()
{int t,L;while(~scanf("%d",&t),t){int i;for(i=0; i<t; i++){scanf("%d%d",&vex[i].x,&vex[i].y);}if(t==1)printf("%.2f\n",0.00);else if(t==2)printf("%.2f\n",dis(vex[0],vex[1]));else{memset(stackk,0,sizeof(stackk));sort(vex,vex+t,cmp1);stackk[0]=vex[0];xx=stackk[0].x;yy=stackk[0].y;sort(vex+1,vex+t,cmp2);//cmp2是更快的，cmp更容易理解stackk[1]=vex[1];//将凸包中的第两个点存入凸包的结构体中int top=1;//最后凸包中拥有点的个数for(i=2; i<t; i++){while(i>=1&&cross(stackk[top-1],stackk[top],vex[i])<0)   //对使用极角排序的i>=1有时可以不用，但加上总是好的top--;stackk[++top]=vex[i];                                    //控制<0或<=0可以控制重点，共线的，具体视题目而定。}double s=0;//for(i=1; i<=top; i++)//输出凸包上的点//cout<<stackk[i].x<<" "<<stackk[i].y<<endl;for(i=1; i<=top; i++)   //计算凸包的周长s+=dis(stackk[i-1],stackk[i]);s+=dis(stackk[top],vex[0]);//最后一个点和第一个点之间的距离/*s+=2*PI*L;int ans=s+0.5;//四舍五入printf("%d\n",ans);*/printf("%.2lf\n",s);}}
}

CPP代码：


#include <iostream>
#include <vector>
#include <math.h>using namespace std;int main()
{int i, size = 4;double px, py;cout << "Please input the size: ";cin >> size;mpoint *points;int miny_point_id;double *mcos;points = new mpoint[size];mcos = new double[size];for(i = 0; i < size; i++){cin >> px;cin >> py;points[i].x = px;points[i].y = py;}miny_point_id = get_miny_point_id(points, size);get_cos(points, mcos, miny_point_id, size);sort_points(points, mcos, size);get_outpoint(points, size);


class mpoint{                       //class point(x, y)
public:double x;double y;mpoint(double xx = 0, double yy = 0){x = xx;y = yy;}};int get_miny_point_id(mpoint *points, int size){ //get the point with min_yint i, min_id = 0;double miny = 10000;for(i = 0; i < size; i++){if(points[i].y < miny){miny = points[i].y;min_id = i;}}return min_id;
}void get_cos(mpoint *points, double *mcos, int id, int size){  //get point's cosint i;double coss;for(i = 0; i < size; i++){if(i == id){mcos[i] = 2;}else{coss = (points[i].x - points[id].x) / sqrt((points[i].x - points[id].x) * (points[i].x - points[id].x) + (points[i].y - points[id].y) * (points[i].y - points[id].y));mcos[i] = coss;}}
}void sort_points(mpoint *points, double *mcos, int size){   //sort the pointsint i, j;double temp_cos;mpoint temp_point;for(i = 0; i < size; i++){for(j = 0; j < size - i - 1; j++){      //bubble sortingif(mcos[j] < mcos[j + 1]){temp_cos = mcos[j];mcos[j] = mcos[j + 1];mcos[j + 1] = temp_cos;temp_point = points[j];points[j] = points[j + 1];points[j + 1] = temp_point;}}}
}int ccw(mpoint a, mpoint b, mpoint c){          //judge if it is couter-colockwisedouble area2 = (b.x-a.x) * (c.y-a.y) - (b.y-a.y) * (c.x-a.x);if (area2 < 0){return -1;          // clockwise}else{if (area2 > 0) return 1;    // counter-clockwiseelse return 0;              // collinear}}void get_outpoint(mpoint *points, int size){    //get points in stackint i, k;vector <mpoint>outpoint;outpoint.push_back(points[0]);outpoint.push_back(points[1]);i = 2;while(true){if(i == size){break;}if(ccw(outpoint[outpoint.size() - 2], outpoint[outpoint.size() - 1], points[i]) > 0){outpoint.push_back(points[i]);i = i + 1;}else{outpoint.pop_back();}}cout << "The outpoints are: " << endl;for(k = 0; k < outpoint.size(); k++){cout << outpoint[k].x << " " << outpoint[k].y << endl;}
}

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