柱爷的矩阵

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柱爷能干这么多大事，与他喜爱玩弄矩阵是分不开的。

有一天柱爷创造了一个NN行MM列的的矩阵A，因为一个个造数据太麻烦，所以柱爷只搞了第一列的数据Ai,1,1≤i≤NAi,1,1≤i≤N，其他数据由Ai,j=max(Ai,j−1−Bi,0),1≤i≤N,2≤j≤MAi,j=max(Ai,j−1−Bi,0),1≤i≤N,2≤j≤M 生成。

那么问题来了，柱爷想每行每列取不超过1个数，请问最大的和是多少。

Input

输入包括3行

第一行 2个数N,MN,M

第二行 N个数Ai,1Ai,1

第三行 N个数BiBi

数据保证：

1≤M≤N≤10001≤M≤N≤1000
1≤Ai,1≤1061≤Ai,1≤106
1≤Bi≤Ai,11≤Bi≤Ai,1

Output

输出一个数，即答案

Sample input and output

Sample Input	Sample Output
2 1 6 8 1 5	8
4 3 5 9 10 3 1 6 7 3	16

Hint

对于样例2

矩阵A为

5 4 3

9 3 0

10 3 0

3 0 0

10+3+3=16

Source

2016 UESTC Training for Dynamic Programming

题解：涉及到一个二维矩阵内数字的选择问题，我们第一个想到的就是dp，没错，这就是一个二维dp，但是也是有技巧的，首先通过观察矩阵的生成式，我们可以看到每一行是一个等差序列，根据选数字的规则，对于每一行我们可以选一个或者不选，每一列可以选一个或者不选，这样一来很容易想到，我们应该优先选下降的快的，这是可证的。因此我们先对第一列安装想下降顺序对其进行排列。

因此我们可以得到一个dp方程，设dp[i][j]为选了第i行第j列之后得到的最优解，mx[i][j]为考虑到第i行第j列（即选或不选）的最优解

得到状态转移方程

dp[i][j]=mx[i-1][j-1]+max(0,(i-1)*b[j]);

mx[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-1])

代码如下

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int dp[1005][1005];
int mx[1005][1005];
struct node
{int a;int b;
}nod[1005];bool cmp(node a,node b)
{return a.b>b.b;
}int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&nod[i].a);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&nod[i].b);sort(nod+1,nod+1+n,cmp);for(int i=1;i<=m;i++){for(int j=1;j<=n;j++){dp[i][j]=mx[i-1][j-1]+max(0,nod[j].a-(i-1)*nod[j].b);mx[i][j]=max(dp[i][j],mx[i][j-1]);}}int ans=0;for(int i=1;i<=m;i++)ans=max(ans,mx[i][n]);cout<<ans<<endl;//cout << "Hello world!" << endl;return 0;
}

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