IOI 2005 Riv 河流题解

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题目大意： 给出一棵树，每个点有一些木材，除了根节点外（本身就是伐木场），你需要选 kkk 个点造伐木场，每个点的木材最后会往根节点运送，如果到达了一个伐木场就停下，你要使总运费最小。

题解

很容易想到 wqswqswqs 二分，感觉 O(n3)O(n^3)O(n3) 的做法既繁琐还跑得慢。

给伐木场二分一个权值，然后设dp状态：fx,if_{x,i}fx,i 表示 xxx 往上第一个伐木场的深度为 iii，初值就是自己的木材运上去的运费，转移时在 fy,if_{y,i}fy,i 和 fy,depyf_{y,dep_y}fy,depy 中取 min⁡\minmin 即可，以及需要记录个 gx,ig_{x,i}gx,i 表示最优方案用了几个伐木场。

就算不做什么优化，速度也是碾压 n3n^3n3 的 dpdpdp，我下面的几个提交是努力卡常的 n3n^3n3 dp做法：

而这个做法也有卡常的余地，随便卡卡能从 53ms53ms53ms 到 48ms48ms48ms，这还只是随便卡卡。

代码也十分好写：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 110
#define ll long longint n,k,w[maxn];
struct edge{int y,z,next;}e[maxn<<1];
int first[maxn],len=0;
void buildroad(int x,int y,int z){e[++len]=(edge){y,z,first[x]};first[x]=len;}
ll f[maxn][maxn];int g[maxn][maxn],dis[maxn];
void dfs(int x,int dep,int cost){for(int j=1;j<dep;j++)f[x][j]=1ll*(dis[dep]-dis[j])*w[x],g[x][j]=0;if(x==1)f[x][dep]=g[x][dep]=0;else f[x][dep]=cost,g[x][dep]=1;for(int i=first[x];i;i=e[i].next){int y=e[i].y;dis[dep+1]=dis[dep]+e[i].z;dfs(y,dep+1,cost);for(int j=1;j<=dep;j++){if(f[y][dep+1]<f[y][j])f[x][j]+=f[y][dep+1],g[x][j]+=g[y][dep+1];else f[x][j]+=f[y][j],g[x][j]+=g[y][j];}}
}int main()
{scanf("%d %d",&n,&k);n++;for(int i=2,fa,z;i<=n;i++){scanf("%d %d %d",&w[i],&fa,&z);buildroad(fa+1,i,z);}int l=0,r=2e9;ll ans=-1;while(l<=r){int mid=l+r>>1;dfs(1,1,mid);if(g[1][1]<=k)ans=f[1][1]-1ll*g[1][1]*mid,r=mid-1;else l=mid+1;}printf("%d",ans);
}

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