『树形DP』[IOI2005]Riv 河流

题目描述

题解

我们设f[x][j][k]f[x][j][k]f[x][j][k]表示运输完了以xxx为根的子树，iii的祖先jjj建立了伐木场，建立了kkk个伐木场的最小运输代价。由于题目中说明了0号点一定要建立伐木场，故结果是f[0][0][K].f[0][0][K].f[0][0][K].

我们可以将这道题拆分成两部分，我们另f数组表示在当前状态下，不选择选择iii的最小花费；ggg数组表示选择节点iii。有与f[x][j][k]f[x][j][k]f[x][j][k]中的jjj树xxx的祖先，因此我们用一个栈记录节点xxx的父亲即可。这里记为fa=stack[j]fa=stack[j]fa=stack[j],用jjj枚举。

因为我们需要求出的时子树的答案，用f[x]f[x]f[x]表示已经不选择xxx的的，g[x]g[x]g[x]表示已经选择xxx的。但是我们对于子树的选与不选是不在乎的，我们可以对子树的fff和ggg值进行合并，那么就可以得到当前的fff和ggg的状态转移方程了：
f[x][fa][k]=min⁡(f[x][fa][k],f[x][fa][k−t]+f[y][fa][t])g[x][fa][k]=min⁡(g[x][fa][k],g[x][fa][k−t]+f[y][x][t])f[x][fa][k] = \min(f[x][fa][k],f[x][fa][k-t]+f[y][fa][t])\\ g[x][fa][k] = \min(g[x][fa][k],g[x][fa][k-t]+f[y][x][t])f[x][fa][k]=min(f[x][fa][k],f[x][fa][k−t]+f[y][fa][t])g[x][fa][k]=min(g[x][fa][k],g[x][fa][k−t]+f[y][x][t])
一些小解释：

对于ggg的求解，子树必然以xxx为根最优。
ggg都已经选择自己了，为什么还要有fafafa这个状态呢？因为就算选择了自己，fafafa这个状态还是要有的，为未来的转移做铺垫。和fff来做一个对应。

一些小细节：在转移状态的时候一定要先随便赋值一个未来的状态之一，这样才能在未来的状态中取最小值；否则在实现上就不会选取子树的答案了。

然后考虑合并fff和ggg的方案：
f[x][fa][k]=min(f[x][fa][k]+w[x]∗(dep[x]−dep[fa]),g[x][fa][k−1])f[x][fa][k] = min(f[x][fa][k]+w[x]*(dep[x]-dep[fa]),g[x][fa][k-1])f[x][fa][k]=min(f[x][fa][k]+w[x]∗(dep[x]−dep[fa]),g[x][fa][k−1])

前者好说，后者为什么要减去111呢？因为选来就算选了kkk个伐木站，在状态转移方程中是不把节点xxx选进去的。因此我们需要减去111来空出这个位置。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long longusing namespace std;
const int N = 200;int n, K;
int top = 0;
int Stack[N], dep[N], g[N][N][N], f[N][N][N], w[N];vector < pair<int,int> > a[N];void dfs(int x,int fa)
{Stack[++top] = x;for (int i=0;i<a[x].size();++i){int y = a[x][i].first;int v = a[x][i].second;if (y == fa) continue;dep[y] = dep[x] + v, dfs(y,x);for (int j=1;j<=top;++j){int fa = Stack[j];for (int k=K;k>=0;--k){f[x][fa][k] += f[y][fa][0];g[x][fa][k] += f[y][x][0];for (int t=0;t<=k;++t){f[x][fa][k] = min(f[x][fa][k],f[x][fa][k-t]+f[y][fa][t]);g[x][fa][k] = min(g[x][fa][k],g[x][fa][k-t]+f[y][x][t]);}}}}for (int j=1;j<=top;++j){int fa = Stack[j];for (int k=0;k<=K;++k){if (k) f[x][fa][k] = min(f[x][fa][k]+w[x]*(dep[x]-dep[fa]),g[x][fa][k-1]);else f[x][fa][k] = f[x][fa][k]+w[x]*(dep[x]-dep[fa]);}}top --;
}signed main(void)
{freopen("riv.in","r",stdin);freopen("riv.out","w",stdout);cin>>n>>K;for (int i=1;i<=n;++i){int fa,dis;cin>>w[i]>>fa>>dis;a[i].push_back(make_pair(fa,dis));a[fa].push_back(make_pair(i,dis));}dfs(0,-1);cout<<f[0][0][K]<<endl;return 0;
}

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