高等数学（第七版）同济大学习题2-1 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题2-1

1.设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ=θ(t)，如果旋转是匀速的，那么称ω=θt为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？\begin{aligned}&1. \ 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0, \ t]上转过角度\theta，从而转角\theta是t的函数：\theta=\theta(t)，\\\\&\ \ \ \ 如果旋转是匀速的，那么称\omega=\frac{\theta}{t}为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀速的，\\\\&\ \ \ \ 应怎样确定该物体在时刻t_0的角速度？&\end{aligned}1. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0, t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ=θ(t)，如果旋转是匀速的，那么称ω=tθ为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？

解：

取时间变化量Δt为t0到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t0,t0+Δt]上的平均角速度ω‾=ΔθΔt=θ(t0+Δt)−θ(t0)Δt，该物体在时刻t0的角速度为ω=lim⁡Δt→0ω‾=lim⁡Δt→0ΔθΔt=θ′(t0)\begin{aligned} &\ \ 取时间变化量\Delta t为t_0到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t_0, \ t_0+\Delta t]上的平均角速度\overline{\omega}=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{\theta(t_0+\Delta t)-\theta(t_0)}{\Delta t}，\\\\ &\ \ 该物体在时刻t_0的角速度为\omega=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\overline{\omega}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\theta'(t_0) & \end{aligned} 取时间变化量Δt为t0到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t0, t0+Δt]上的平均角速度ω=ΔtΔθ=Δtθ(t0+Δt)−θ(t0)，该物体在时刻t0的角速度为ω=Δt→0limω=Δt→0limΔtΔθ=θ′(t0)

2.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却。若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t)，应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？\begin{aligned}&2. \ 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却。若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t)，\\\\&\ \ \ \ 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？&\end{aligned}2. 当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却。若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t)，应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？

解：

取时间变化量Δt为t到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t,t+Δt]上的平均冷却速度v‾=ΔTΔt=T(t+Δt)−T(t)Δt.物体在时刻t的冷却速度v=lim⁡Δt→0ΔTΔt=lim⁡Δt→0T(t+Δt)−T(t)Δt=T′(t).\begin{aligned} &\ \ 取时间变化量\Delta t为t到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t, \ t+\Delta t]上的平均冷却速度\overline{v}=\frac{\Delta T}{\Delta t}=\frac{T(t+\Delta t)-T(t)}{\Delta t}.\\\\ &\ \ 物体在时刻t的冷却速度v=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta T}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{T(t+\Delta t)-T(t)}{\Delta t}=T'(t). & \end{aligned} 取时间变化量Δt为t到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t, t+Δt]上的平均冷却速度v=ΔtΔT=ΔtT(t+Δt)−T(t). 物体在时刻t的冷却速度v=Δt→0limΔtΔT=Δt→0limΔtT(t+Δt)−T(t)=T′(t).

3.设某工厂生产x件产品的成本为C(x)=2000+100x−0.1x2(元)，这函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数C′(x)在经济学中称为边际成本，试求\begin{aligned}&3. \ 设某工厂生产x件产品的成本为C(x)=2000+100x-0.1x^2(元)，这函数C(x)称为成本函数，\\\\&\ \ \ \ 成本函数C(x)的导数C'(x)在经济学中称为边际成本，试求&\end{aligned}3. 设某工厂生产x件产品的成本为C(x)=2000+100x−0.1x2(元)，这函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数C′(x)在经济学中称为边际成本，试求

(1)当生产100件产品时的边际成本；(2)生产第101件产品的成本，并与(1)中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 当生产100件产品时的边际成本；\\\\ &\ \ (2)\ \ 生产第101件产品的成本，并与(1)中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义. & \end{aligned} (1) 当生产100件产品时的边际成本； (2) 生产第101件产品的成本，并与(1)中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.

解：

(1)因为成本函数C(x)=2000+100x−0.1x2，边际成本为成本函数的导数，即C′(x)=100−0.2x，所以当生产100件产品时的边际成本为C′(100)=100−0.2×100=80。(2)C(100)=2000+100×100−0.1×1002=11000C(101)=2000+100×101−0.1×1012=11079.9C(101)−C(100)=79.9，生产第101件产品的成本为79.9，与(1)中求得的边际成本比较，可以看出边际成本C′(x)的实际意义时近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本。\begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为成本函数C(x)=2000+100x-0.1x^2，边际成本为成本函数的导数，即C'(x)=100-0.2x，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以当生产100件产品时的边际成本为C'(100)=100-0.2 \times 100=80。\\\\ &\ \ (2)\ C(100)=2000+100 \times 100-0.1 \times 100^2=11000\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ C(101)=2000+100 \times 101-0.1 \times 101^2=11079.9 \\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ C(101)-C(100)=79.9，生产第101件产品的成本为79.9，与(1)中求得的边际成本比较，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 可以看出边际成本C'(x)的实际意义时近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本。 & \end{aligned} (1) 因为成本函数C(x)=2000+100x−0.1x2，边际成本为成本函数的导数，即C′(x)=100−0.2x，所以当生产100件产品时的边际成本为C′(100)=100−0.2×100=80。 (2) C(100)=2000+100×100−0.1×1002=11000 C(101)=2000+100×101−0.1×1012=11079.9 C(101)−C(100)=79.9，生产第101件产品的成本为79.9，与(1)中求得的边际成本比较，可以看出边际成本C′(x)的实际意义时近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本。

4.设f(x)=10x2，试按定义求f′(−1).\begin{aligned}&4. \ 设f(x)=10x^2，试按定义求f'(-1).&\end{aligned}4. 设f(x)=10x2，试按定义求f′(−1).

解：

f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=lim⁡Δx→010(x+Δx)2−10x2Δx=lim⁡Δx→010Δx2+20xΔxΔx=lim⁡Δx→0(10Δx+20x)=20x，所以f′(−1)=−20。\begin{aligned} &\ \ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{10(x+\Delta x)^2-10x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{10\Delta x^2+20x\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}(10\Delta x+20x)=20x，\\\\ &\ \ 所以f'(-1)=-20。 & \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔx10(x+Δx)2−10x2=Δx→0limΔx10Δx2+20xΔx=Δx→0lim(10Δx+20x)=20x，所以f′(−1)=−20。

5.证明(cosx)′=−sinx\begin{aligned}&5. \ 证明(cos\ x)'=-sin\ x&\end{aligned}5. 证明(cos x)′=−sin x

解：

(cosx)′=lim⁡Δx→0cos(x+Δx)−cosxΔx=lim⁡Δx→0cosxcosΔx−sinxsinΔx−cosxΔx=lim⁡Δx→0(cosxcosΔx−1Δx−sinxsinΔxΔx)=−sinx\begin{aligned} &\ \ (cos\ x)'=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{cos\ (x+\Delta x)-cos\ x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{cos\ xcos\ \Delta x-sin\ xsin\ \Delta x-cos\ x}{\Delta x}=\\\\ &\ \ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\left(cos\ x\frac{cos\ \Delta x-1}{\Delta x}-sin\ x\frac{sin\ \Delta x}{\Delta x}\right)=-sin\ x & \end{aligned} (cos x)′=Δx→0limΔxcos (x+Δx)−cos x=Δx→0limΔxcos xcos Δx−sin xsin Δx−cos x= Δx→0lim(cos xΔxcos Δx−1−sin xΔxsin Δx)=−sin x

6.下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：\begin{aligned}&6. \ 下列各题中均假定f'(x_0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：&\end{aligned}6. 下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：

(1)lim⁡Δx→0f(x0−Δx)−f(x0)Δx=A；(2)lim⁡x→0f(x)x=A，其中f(0)=0，且f′(0)存在；(3)lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0−h)h=A\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=A；\\\\ &\ \ (2)\ \ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=A，其中f(0)=0，且f'(0)存在；\\\\ &\ \ (3)\ \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=A & \end{aligned} (1) Δx→0limΔxf(x0−Δx)−f(x0)=A； (2) x→0limxf(x)=A，其中f(0)=0，且f′(0)存在； (3) h→0limhf(x0+h)−f(x0−h)=A

解：

(1)lim⁡Δx→0f(x0−Δx)−f(x0)Δx=−lim⁡−Δx→0f(x0)+(−Δx))−f(x0)−Δx=−f′(x0)=A(2)因为f(0)=0，lim⁡x→0f(x)x=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=f′(0)(3)lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0−h)h=lim⁡h→0[f(x0+h)−f(x0)h−f(x0)−h)−f(x0)h]=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h+lim⁡−h→0f(x0+(−h))−f(x0)−h=2f′(x0)\begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=-\lim_{-\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0)+(-\Delta x))-f(x_0)}{-\Delta x}=-f'(x_0)=A\\\\ &\ \ (2)\ 因为f(0)=0，\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-\frac{f(x_0)-h)-f(x_0)}{h}\right]=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\lim_{-h \rightarrow 0}\frac{f(x_0+(-h))-f(x_0)}{-h}=2f'(x_0) & \end{aligned} (1) Δx→0limΔxf(x0−Δx)−f(x0)=−−Δx→0lim−Δxf(x0)+(−Δx))−f(x0)=−f′(x0)=A (2) 因为f(0)=0，x→0limxf(x)=x→0limx−0f(x)−f(0)=f′(0) (3) h→0limhf(x0+h)−f(x0−h)=h→0lim[hf(x0+h)−f(x0)−hf(x0)−h)−f(x0)]= h→0limhf(x0+h)−f(x0)+−h→0lim−hf(x0+(−h))−f(x0)=2f′(x0)

7.设f(x)={23x3，x≤1，x2，x>1，则f(x)在x=1处的()\begin{aligned}&7. \ 设f(x)=\begin{cases}\frac{2}{3}x^3，x \le 1，\\\\x^2，\ \ x \gt 1，则f(x)在x=1处的(\ \ \ )\end{cases}&\end{aligned}7. 设f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧32x3，x≤1，x2， x>1，则f(x)在x=1处的( )

(A)左、右导数都存在(B)左导数存在，右导数不存在(C)左导数不存在，右导数存在(D)左、右导数都不存在\begin{aligned} &\ \ (A)\ \ 左、右导数都存在\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (B)\ \ 左导数存在，右导数不存在\\\\ &\ \ (C)\ \ 左导数不存在，右导数存在\ \ \ \ \ \ \ \ (D)\ \ 左、右导数都不存在 & \end{aligned} (A) 左、右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在

解：

f−′(1)=lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1−23x3−23x−1=23lim⁡x→1−x3−1x−1=23lim⁡x→1−(x2+x+1)=2；f+′(1)=lim⁡x→1+f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1+x2−23x−1=∞函数左导数存在，右导数不存在，选B。\begin{aligned} &\ \ f'_-(1)=\lim_{x \rightarrow 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1^-}\frac{\frac{2}{3}x^3-\frac{2}{3}}{x-1}=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 1^-}\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{2}{3}\lim_{x \rightarrow 1^-}(x^2+x+1)=2；\\\\ &\ \ f'_+(1)=\lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{x^2-\frac{2}{3}}{x-1}=\infty\\\\ &\ \ 函数左导数存在，右导数不存在，选B。 & \end{aligned} f−′(1)=x→1−limx−1f(x)−f(1)=x→1−limx−132x3−32=32x→1−limx−1x3−1=32x→1−lim(x2+x+1)=2； f+′(1)=x→1+limx−1f(x)−f(1)=x→1+limx−1x2−32=∞ 函数左导数存在，右导数不存在，选B。

8.设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+∣sinx∣)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()\begin{aligned}&8. \ 设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sin\ x|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的(\ \ \ )&\end{aligned}8. 设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+∣sin x∣)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的( )

(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件\begin{aligned} &\ \ (A)\ \ 充分必要条件\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (B)\ \ 充分条件但非必要条件\\\\ &\ \ (C)\ \ 必要条件但非充分条件\ \ \ \ \ \ \ \ (D)\ \ 既非充分条件又非必要条件 & \end{aligned} (A) 充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 (D) 既非充分条件又非必要条件

解：

F+′(0)=lim⁡x→0+F(x)−F(0)x−0=lim⁡x→0+f(x)(1+sinx)−f(0)x=lim⁡x→0+[f(x)−f(0)x+f(x)sinxx]=f′(0)+f(0)，F−′(0)=lim⁡x→0−F(x)−F(0)x−0=lim⁡x→0−f(x)(1−sinx)−f(0)x=lim⁡x→0−[f(x)−f(0)x−f(x)sinxx]=f′(0)−f(0).当f(0)=0时，F+′(0)=F−′(0)，当F+′(0)=F−′(0)时，f(0)=0，所以是充分必要条件，选A\begin{aligned} &\ \ F'_+(0)=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)(1+sin\ x)-f(0)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\left[\frac{f(x)-f(0)}{x}+f(x)\frac{sin\ x}{x}\right]=f'(0)+f(0)，\\\\ &\ \ F'_-(0)=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{f(x)(1-sin\ x)-f(0)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^-}\left[\frac{f(x)-f(0)}{x}-f(x)\frac{sin\ x}{x}\right]=f'(0)-f(0).\\\\ &\ \ 当f(0)=0时，F'_+(0)=F'_-(0)，当F'_+(0)=F'_-(0)时，f(0)=0，所以是充分必要条件，选A & \end{aligned} F+′(0)=x→0+limx−0F(x)−F(0)=x→0+limxf(x)(1+sin x)−f(0)=x→0+lim[xf(x)−f(0)+f(x)xsin x]=f′(0)+f(0)， F−′(0)=x→0−limx−0F(x)−F(0)=x→0−limxf(x)(1−sin x)−f(0)=x→0−lim[xf(x)−f(0)−f(x)xsin x]=f′(0)−f(0). 当f(0)=0时，F+′(0)=F−′(0)，当F+′(0)=F−′(0)时，f(0)=0，所以是充分必要条件，选A

9.求下列函数的导数：\begin{aligned}&9. \ 求下列函数的导数：&\end{aligned}9. 求下列函数的导数：

(1)y=x4；(2)y=x23；(3)y=x1.6；(4)y=1x；(5)y=1x2；(6)y=x3x5；(7)y=x2x23x5\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=x^4；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=\sqrt[3]{x^2}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ \ y=x^{1.6}；\\\\ &\ \ (4)\ \ y=\frac{1}{\sqrt{x}}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)\ \ y=\frac{1}{x^2}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ y=x^3\sqrt[5]{x}；\\\\ &\ \ (7)\ \ y=\frac{x^2\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x^5}} & \end{aligned} (1) y=x4； (2) y=3x2； (3) y=x1.6； (4) y=x1； (5) y=x21； (6) y=x35x； (7) y=x5x23x2

解：

(1)y′=4x3(2)y=x23，y′=23x−13(3)y=x85，y′=85x35(4)y=x−12，y′=−12x−32(5)y=x−2，y′=−2x−3(6)y=x165，y′=165x115(7)y=x83x52=x16，y′=16x−56\begin{aligned} &\ \ (1)\ y'=4x^3\\\\ &\ \ (2)\ y=x^{\frac{2}{3}}，y'=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\\\\ &\ \ (3)\ y=x^{\frac{8}{5}}，y'=\frac{8}{5}x^{\frac{3}{5}}\\\\ &\ \ (4)\ y=x^{-\frac{1}{2}}，y'=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\\\ &\ \ (5)\ y=x^{-2}，y'=-2x^{-3}\\\\ &\ \ (6)\ y=x^{\frac{16}{5}}，y'=\frac{16}{5}x^{\frac{11}{5}}\\\\ &\ \ (7)\ y=\frac{x^{\frac{8}{3}}}{x^{\frac{5}{2}}}=x^{\frac{1}{6}}，y'=\frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} & \end{aligned} (1) y′=4x3 (2) y=x32，y′=32x−31 (3) y=x58，y′=58x53 (4) y=x−21，y′=−21x−23 (5) y=x−2，y′=−2x−3 (6) y=x516，y′=516x511 (7) y=x25x38=x61，y′=61x−65

10.已知物体的运动规律为s=t3m，求这物体在t=2s时的速度。\begin{aligned}&10. \ 已知物体的运动规律为s=t^3\ m，求这物体在t=2\ s时的速度。&\end{aligned}10. 已知物体的运动规律为s=t3 m，求这物体在t=2 s时的速度。

解：

v=dsdt=3t2，v∣t=2=12\begin{aligned} &\ \ v=\frac{ds}{dt}=3t^2，v|_{t=2}=12 & \end{aligned} v=dtds=3t2，v∣t=2=12

11.如果f(x)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0.\begin{aligned}&11. \ 如果f(x)为偶函数，且f'(0)存在，证明f'(0)=0.&\end{aligned}11. 如果f(x)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0.

解：

f(x)为偶函数，有f(−x)=f(x)，f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0f(−x)−f(0)x−0=lim⁡−x→0f(−x)−f(0)−x−0=−f′(0)，所以f′(0)=0\begin{aligned} &\ \ f(x)为偶函数，有f(-x)=f(x)，f'(0)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(-x)-f(0)}{x-0}=\lim_{-x \rightarrow 0}\frac{f(-x)-f(0)}{-x-0}=-f'(0)，\\\\ &\ \ 所以f'(0)=0 & \end{aligned} f(x)为偶函数，有f(−x)=f(x)，f′(0)=x→0limx−0f(x)−f(0)=x→0limx−0f(−x)−f(0)=−x→0lim−x−0f(−x)−f(0)=−f′(0)，所以f′(0)=0

12.求曲线y=sinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率：x=23π，x=π.\begin{aligned}&12. \ 求曲线y=sin\ x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率：x=\frac{2}{3}\pi，x=\pi.&\end{aligned}12. 求曲线y=sin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率：x=32π，x=π.

解：

x=23π时，斜率k=y′∣x=23π=cosx∣x=23π=−12x=π时，斜率k=y′∣x=π=cosx∣x=π=−1\begin{aligned} &\ \ x=\frac{2}{3}\pi时，斜率k=y'|_{x=\frac{2}{3}\pi}=cos\ x|_{x=\frac{2}{3}\pi}=-\frac{1}{2}\\\\ &\ \ x=\pi时，斜率k=y'|_{x=\pi}=cos\ x|_{x=\pi}=-1 & \end{aligned} x=32π时，斜率k=y′∣x=32π=cos x∣x=32π=−21 x=π时，斜率k=y′∣x=π=cos x∣x=π=−1

13.求曲线y=cosx上点(π3,12)处的切线方程和法线方程。\begin{aligned}&13. \ 求曲线y=cos\ x上点\left(\frac{\pi}{3}, \ \frac{1}{2}\right)处的切线方程和法线方程。&\end{aligned}13. 求曲线y=cos x上点(3π, 21)处的切线方程和法线方程。

解：

y′∣x=π3=−sinx∣x=π3=−32，切线方程为y−12=−32(x−π3)，32x+y−12(1+33π)=0。法线方程为y−12=23(x−π3)，233x−y+12−239π=0.\begin{aligned} &\ \ y'|_{x=\frac{\pi}{3}}=-sin\ x|_{x=\frac{\pi}{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}，切线方程为y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)，\frac{\sqrt{3}}{2}x+y-\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\right)=0。\\\\ &\ \ 法线方程为y-\frac{1}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)，\frac{2\sqrt{3}}{3}x-y+\frac{1}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{9}\pi=0. & \end{aligned} y′∣x=3π=−sin x∣x=3π=−23，切线方程为y−21=−23(x−3π)，23x+y−21(1+33π)=0。法线方程为y−21=32(x−3π)，323x−y+21−923π=0.

14.求曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程。\begin{aligned}&14. \ 求曲线y=e^x在点(0, \ 1)处的切线方程。&\end{aligned}14. 求曲线y=ex在点(0, 1)处的切线方程。

解：

y′∣x=0=ex∣x=0=1，切线方程为y−1=x−0，x−y+1=0。\begin{aligned} &\ \ y'|_{x=0}=e^x|_{x=0}=1，切线方程为y-1=x-0，x-y+1=0。 & \end{aligned} y′∣x=0=ex∣x=0=1，切线方程为y−1=x−0，x−y+1=0。

15.在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？\begin{aligned}&15. \ 在抛物线y=x^2上取横坐标为x_1=1及x_2=3的两点，作过这两点的割线。\\\\&\ \ \ \ \ \ 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？&\end{aligned}15. 在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点，作过这两点的割线。问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

解：

割线斜率k=y2−y1x2−x1=32−123−1=4。假设抛物线上点(x0,y0)处的切线平行于该割线，y0=x02，y0′=2x0=4，x0=2，y0=4，得抛物线上点(2,4)平行于割线。\begin{aligned} &\ \ 割线斜率k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3^2-1^2}{3-1}=4。假设抛物线上点(x_0, y_0)处的切线平行于该割线，\\\\ &\ \ y_0=x_0^2，y_0'=2x_0=4，x_0=2，y_0=4，得抛物线上点(2, \ 4)平行于割线。 & \end{aligned} 割线斜率k=x2−x1y2−y1=3−132−12=4。假设抛物线上点(x0,y0)处的切线平行于该割线， y0=x02，y0′=2x0=4，x0=2，y0=4，得抛物线上点(2, 4)平行于割线。

16.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：\begin{aligned}&16. \ 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：&\end{aligned}16. 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：

(1)y=∣sinx∣；(2)y={x2sin1x，x≠0，0，x=0.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=|sin\ x|；\\\\ &\ \ (2)\ \ y=\begin{cases}x^2sin\ \frac{1}{x}，x \neq 0，\\\\0，\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=0.\end{cases} & \end{aligned} (1) y=∣sin x∣； (2) y=⎩⎪⎨⎪⎧x2sin x1，x=0，0， x=0.

解：

(1)lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0∣sinx∣=0=f(0)，所以y=∣sinx∣在x=0处连续。f−′(0)=lim⁡x→0−f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0−−sinxx=−1，f+′(0)=lim⁡x→0+f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0+sinxx=1，f−′(0)≠f+′(0)，所以y=∣sinx∣在x=0处不可导。(2)lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0x2sin1x=0=f(0)，所以函数在x=0处连续。f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0x2sin1xx=lim⁡x→0xsin1x=0，所以函数在x=0处可导。\begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}|sin\ x|=0=f(0)，所以y=|sin\ x|在x=0处连续。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ f'_-(0)=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{-sin\ x}{x}=-1，f'_+(0)=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{sin\ x}{x}=1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ f'_-(0) \neq f'_+(0)，所以y=|sin\ x|在x=0处不可导。\\\\ &\ \ (2)\ \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}x^2sin\ \frac{1}{x}=0=f(0)，所以函数在x=0处连续。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ f'(0)=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x^2sin\ \frac{1}{x}}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}xsin\ \frac{1}{x}=0，所以函数在x=0处可导。 & \end{aligned} (1) x→0limf(x)=x→0lim∣sin x∣=0=f(0)，所以y=∣sin x∣在x=0处连续。 f−′(0)=x→0−limx−0f(x)−f(0)=x→0−limx−sin x=−1，f+′(0)=x→0+limx−0f(x)−f(0)=x→0+limxsin x=1， f−′(0)=f+′(0)，所以y=∣sin x∣在x=0处不可导。 (2) x→0limf(x)=x→0limx2sin x1=0=f(0)，所以函数在x=0处连续。 f′(0)=x→0limx−0f(x)−f(0)=x→0limxx2sin x1=x→0limxsin x1=0，所以函数在x=0处可导。

17.设函数f(x)={x2，x≤1，ax+b，x>1.为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？\begin{aligned}&17. \ 设函数f(x)=\begin{cases}x^2，\ \ \ \ \ \ x \le 1，\\\\ax+b，x \gt 1.\end{cases}为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？&\end{aligned}17. 设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x2， x≤1，ax+b，x>1.为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？

解：

要使函数f(x)在x=1处连续，应有lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)，即a+b=1。要是函数f(x)在x=1处可导，应有f−′(1)=f+′(1).f−′(1)=lim⁡x→1−f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1−x2−1x−1−2，f+′(1)=lim⁡x→1+f(x)−f(1)x−1=lim⁡x→1+ax+b−1x−1=lim⁡x→1+a(x−1)+a+b−1x−1=lim⁡x→1+a(x−1)x−1=a，得a=2，b=−1。\begin{aligned} &\ \ 要使函数f(x)在x=1处连续，应有\lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=f(1)，即a+b=1。\\\\ &\ \ 要是函数f(x)在x=1处可导，应有f'_-(1)=f'_+(1).\\\\ &\ \ f'_-(1)=\lim_{x \rightarrow 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1^-}\frac{x^2-1}{x-1}-2，f'_+(1)=\lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{ax+b-1}{x-1}=\\\\ &\ \ \lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{a(x-1)+a+b-1}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 1^+}\frac{a(x-1)}{x-1}=a，得a=2，b=-1。 & \end{aligned} 要使函数f(x)在x=1处连续，应有x→1−limf(x)=x→1+limf(x)=f(1)，即a+b=1。要是函数f(x)在x=1处可导，应有f−′(1)=f+′(1). f−′(1)=x→1−limx−1f(x)−f(1)=x→1−limx−1x2−1−2，f+′(1)=x→1+limx−1f(x)−f(1)=x→1+limx−1ax+b−1= x→1+limx−1a(x−1)+a+b−1=x→1+limx−1a(x−1)=a，得a=2，b=−1。

18.已知f(x)={−x，x<0，x2，x≥0，求f+′(0)及f−′(0)，又f′(0)是否存在？\begin{aligned}&18. \ 已知f(x)=\begin{cases}-x，x \lt 0，\\\\x^2，\ \ x \ge 0，\end{cases}求f'_+(0)及f'_-(0)，又f'(0)是否存在？&\end{aligned}18. 已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧−x，x<0，x2， x≥0，求f+′(0)及f−′(0)，又f′(0)是否存在？

解：

f−′(0)=lim⁡x→0−f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0−−x−0x=−1，f+′(0)=lim⁡x→0+f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0+x2−0x=0。因为f−′(0)≠f+′(0)，所以f′(0)不存在。\begin{aligned} &\ \ f'_-(0)=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{-x-0}{x}=-1，\\\\ &\ \ f'_+(0)=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{x^2-0}{x}=0。因为f'_-(0) \neq f'_+(0)，所以f'(0)不存在。 & \end{aligned} f−′(0)=x→0−limx−0f(x)−f(0)=x→0−limx−x−0=−1， f+′(0)=x→0+limx−0f(x)−f(0)=x→0+limxx2−0=0。因为f−′(0)=f+′(0)，所以f′(0)不存在。

19.已知f(x)={sinx，x<0，x，x≥0，求f′(x).\begin{aligned}&19. \ 已知f(x)=\begin{cases}sin\ x，x \lt 0，\\\\x，\ \ \ \ \ \ \ x \ge 0，\end{cases}求f'(x).&\end{aligned}19. 已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧sin x，x<0，x， x≥0，求f′(x).

解：

f−′(0)=lim⁡x→0−f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0−sinxx=1，f+′(0)=lim⁡x→0+f(x)−f(0)x−1=lim⁡x→0+xx=1。因为f−′(0)=f+′(0)=1，所以f′(0)=1，f′(x)={cosx，x<0，1，x≥0.\begin{aligned} &\ \ f'_-(0)=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{sin\ x}{x}=1，\\\\ &\ \ f'_+(0)=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-1}=\lim_{x \rightarrow 0^+}\frac{x}{x}=1。\\\\ &\ \ 因为f'_-(0)=f'_+(0)=1，所以f'(0)=1，f'(x)=\begin{cases}cos\ x，x \lt 0，\\\\1，\ \ \ \ \ \ \ x \ge 0.\end{cases} & \end{aligned} f−′(0)=x→0−limx−0f(x)−f(0)=x→0−limxsin x=1， f+′(0)=x→0+limx−1f(x)−f(0)=x→0+limxx=1。因为f−′(0)=f+′(0)=1，所以f′(0)=1，f′(x)=⎩⎪⎨⎪⎧cos x，x<0，1， x≥0.

20.证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2。\begin{aligned}&20. \ 证明：双曲线xy=a^2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a^2。&\end{aligned}20. 证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2。

解：

设点(x0,y0)为双曲线xy=a2上任一点，y=a2x，该点的切线斜率k=y′=(a2x)′∣x=x0=−a2x02，切线方程为y−y0=−a2x02(x−x0)，xx0+yy0=2，切线与两坐标轴构成的三角形面积S=12∣2x0∣∣2y0∣=2a2。\begin{aligned} &\ \ 设点(x_0, \ y_0)为双曲线xy=a^2上任一点，y=\frac{a^2}{x}，该点的切线斜率k=y'=\left(\frac{a^2}{x}\right)'\bigg|_{x=x_0}=-\frac{a^2}{x_0^2}，\\\\ &\ \ 切线方程为y-y_0=-\frac{a^2}{x_0^2}(x-x_0)，\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}=2，切线与两坐标轴构成的三角形面积S=\frac{1}{2}|2x_0|\ |2y_0|=2a^2。 & \end{aligned} 设点(x0, y0)为双曲线xy=a2上任一点，y=xa2，该点的切线斜率k=y′=(xa2)′∣∣∣∣x=x0=−x02a2，切线方程为y−y0=−x02a2(x−x0)，x0x+y0y=2，切线与两坐标轴构成的三角形面积S=21∣2x0∣ ∣2y0∣=2a2。