UA PHYS515 电磁理论I 麦克斯韦方程组基础2 从实验定律到麦克斯韦方程

从Coulomb定律到电场强度的Gauss方程
从Biot-Savart定律到磁场强度的Gauss方程
Faraday定律
Ampere定律

上一讲介绍了两个重要的关于静电场与静磁场的重要定律，这一讲我们介绍从实验定律到Maxwell方程的总结过程。第一件要做的事情，就是请大家忘掉场论、向量分析相关的数学知识（散度、旋度、Gauss公式、Stokes公式等），因为物理学家相信自己的物理学直觉，基于physically meaningful definitions导出的公式如果正好与某些数学公式相同了，那也只是巧合，是数学家尝试从物理学家的推导中抽象出一些结构罢了，毕竟有Maxwell方程的年代还没有向量分析。

我们先给出Maxwell方程组，然后再介绍怎么从实验定律得到这个方程组：
∇⋅E⃗=4πρ∇⋅B⃗=0∇×E⃗=−∂B⃗∂t∇×B⃗=4πJ+∂E⃗∂t\nabla \cdot \vec{E}=4\pi \rho \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{B}=4\pi J+\frac{\partial \vec{E}}{\partial t} ∇⋅E=4πρ∇⋅B=0∇×E=−∂t∂B∇×B=4πJ+∂t∂E

前两个方程是电场与磁场的Gauss方程，分别由库仑定律与毕奥-萨法尔定律导出；后两个方程分别由法拉第定律与安培定律导出。前两个方程是一维的，后两个方程是三维的，所有我们一共有八个方程，但我们只有六个未知量，所以这其实是一个超定系统；一种可能的改进方法是用电磁场的potential代替强度，这样这个系统方程数和未知量个数就一样了，下一讲我们会讨论这个方法。最后就是这些方程讨论的是真空中的电磁场，所以方程中没有与介质有关的常数；下下讲我们讨论怎么在修正Maxwell方程组，使之能够表达任意介质中的电磁场。

从Coulomb定律到电场强度的Gauss方程

Gauss方程是从库仑定律导出的，它的想法非常简单，通过封闭曲面的electric flux与这个封闭曲面包围的净电荷成正比：假设某个位置有总电荷量为QQQ的一些粒子，则通过包围这些粒子的封闭曲面SSS的电场强度满足
∮SE⃗⋅dA⃗∝Q\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} \propto Q∮SE⋅dA∝Q

如果SSS是半径为rrr的球面，根据库仑定律
∮SE⃗⋅dA⃗=Er∮SdA⃗=4πr2Er=4πr2Qr2=4πQ\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A}=E_r\oint_S d\vec{A}=4\pi r^2 E_r =4\pi r^2 \frac{Q}{r^2}=4 \pi Q∮SE⋅dA=Er∮SdA=4πr2Er=4πr2r2Q=4πQ

当charge的分布复杂时，不希望用这种global的方法来表示，因为不够精确，我们可以参考一下定义电场的方法，用极限来定义上面的关系，称下面的定义为outflux per unit volume，
divE⃗=lim⁡V→01V∮S(V)E⃗⋅dA⃗div \vec{E}=\lim_{V \to 0} \frac{1}{V}\oint_{S(V)} \vec{E} \cdot d\vec{A}divE=V→0limV1∮S(V)E⋅dA

这里VVV表示封闭曲面围成的体积。下面我们讨论一种特殊情况，

在电场存在的空间内考虑体积微元dV=dxdydzdV=dxdydzdV=dxdydz，某xxx方向强度为ExE_xEx的电场穿过这个体积微元后受微元内的可能存在的charge的影响变成了Ex+∂Ex∂xdxE_x+\frac{\partial E_x}{\partial x}dxEx+∂x∂Exdx，其他几个方向类似，于是在这个体积微元上，
∮S(V)E⃗⋅dA⃗=∂Ex∂xdxdydz+∂Ey∂ydydzdx+∂Ez∂zdzdxdylim⁡V→01V∮S(V)E⃗⋅dA⃗=lim⁡V→0∂Ex∂xdxdydz+∂Ey∂ydydzdx+∂Ez∂zdzdxdydxdydz=∂Ex∂x+∂Ey∂y+∂Ez∂z=divE⃗=∇⋅E⃗\oint_{S(V)} \vec{E} \cdot d\vec{A}=\frac{\partial E_x}{\partial x}dx dydz+\frac{\partial E_y}{\partial y}dy dzdx+\frac{\partial E_z}{\partial z}dz dxdy \\ \lim_{V \to 0} \frac{1}{V}\oint_{S(V)} \vec{E} \cdot d\vec{A}=\lim_{V \to 0} \frac{\frac{\partial E_x}{\partial x}dx dydz+\frac{\partial E_y}{\partial y}dy dzdx+\frac{\partial E_z}{\partial z}dz dxdy}{dxdydz} \\ = \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=div\vec{E}=\nabla \cdot \vec{E}∮S(V)E⋅dA=∂x∂Exdxdydz+∂y∂Eydydzdx+∂z∂EzdzdxdyV→0limV1∮S(V)E⋅dA=V→0limdxdydz∂x∂Exdxdydz+∂y∂Eydydzdx+∂z∂Ezdzdxdy=∂x∂Ex+∂y∂Ey+∂z∂Ez=divE=∇⋅E

在物理上我们可以就用divE⃗div\vec{E}divE，它表示divergence of electric field，经过我们的推导可以发现它是向量的散度。假设ρ\rhoρ表示空间内的charge density，则
Q=∫VρdxdydzQ = \int_V \rho dxdydzQ=∫Vρdxdydz

所以
ρ=lim⁡V→01V∫Vρdxdydz=lim⁡V→0QV\rho = \lim_{V \to 0}\frac{1}{V}\int_V \rho dxdydz=\lim_{V \to 0}\frac{Q}{V}ρ=V→0limV1∫Vρdxdydz=V→0limVQ

于是
divE⃗=lim⁡V→01V∮S(V)E⃗⋅dA⃗=lim⁡V→04πQV=4πρdiv \vec{E}=\lim_{V \to 0} \frac{1}{V}\oint_{S(V)} \vec{E} \cdot d\vec{A}=\lim_{V \to 0} \frac{4\pi Q}{V}=4\pi \rhodivE=V→0limV1∮S(V)E⋅dA=V→0limV4πQ=4πρ

这就是Maxwell方程组的第一个方程：
divE⃗=∇⋅E⃗=4πρdiv \vec{E}=\nabla\cdot \vec{E}=4\pi \rhodivE=∇⋅E=4πρ

从Biot-Savart定律到磁场强度的Gauss方程

我们假设不存在磁单极，那么磁感线是封闭曲线，所以通过封闭曲面的magnetic flux为0，用曲面积分来表达就是
∮SB⃗⋅dA⃗=0\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{A}=0∮SB⋅dA=0

我们可以定义磁场的散度为
divB⃗=lim⁡V→∞1V∮S(V)B⃗⋅dA⃗div \vec{B}=\lim_{V \to \infty} \frac{1}{V} \oint_{S(V)}\vec{B} \cdot d\vec{A}divB=V→∞limV1∮S(V)B⋅dA

显然
divB⃗=∇⋅B⃗=0div \vec{B}=\nabla \cdot \vec{B}=0divB=∇⋅B=0

这就是Maxwell方程组的第二个方程。

Faraday定律

我们在高中的时候就学过，一个带电粒子在电场中运动轨迹是封闭曲线的话，运动前后带电粒子的potential是不变的，我们用Φ\PhiΦ表示电场的potential，则
E⃗=−∇Φ\vec{E} = -\nabla \PhiE=−∇Φ

Faraday的实验说明了在电场势能随时间变化时，带点粒子沿封闭曲线运动电场做功不为0，即∮lE⃗⋅dl⃗≠0\oint_l \vec{E} \cdot d\vec{l} \ne 0∮lE⋅dl=0，他基于这个实验总结出了Faraday定律
∮lE⃗⋅dl⃗=−dΦBdt=−ddt∫S(l)B⃗⋅dA⃗\oint_l \vec{E} \cdot d\vec{l} =-\frac{d\Phi_B}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_{S(l)}\vec{B} \cdot d\vec{A}∮lE⋅dl=−dtdΦB=−dtd∫S(l)B⋅dA

其中S(l)S(l)S(l)表示封闭曲线lll围成的面积；现在我们不希望用积分处理一个区域内的磁通量问题，特别是当磁场强度形式非常复杂的时候，所以我们定义电场强度的散度(circulation)为
curlE⃗=lim⁡S(l)→01S(l)∮lE⃗⋅dl⃗curl \vec{E}=\lim_{S(l) \to 0} \frac{1}{S(l)} \oint_l \vec{E} \cdot d \vec{l}curlE=S(l)→0limS(l)1∮lE⋅dl

我们用下面这个简单情形进行计算：

分别在x-y平面、y-z平面、z-x平面上取面积微元，以x-y平面为例，面积微元为dS=dxdydS=dxdydS=dxdy，绕这个面积微元的circulation为（逆时针为正）
(Ey+∂Ey∂xdx)dy−(Ex+∂Ex∂ydy)dx−Eydy+Exdx=(∂Ey∂x−∂Ex∂y)dxdy(E_y+\frac{\partial E_y}{\partial x}dx)dy-(E_x+\frac{\partial E_x}{\partial y}dy)dx-E_ydy+E_xdx \\ = (\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y})dxdy(Ey+∂x∂Eydx)dy−(Ex+∂y∂Exdy)dx−Eydy+Exdx=(∂x∂Ey−∂y∂Ex)dxdy

所以
(curlE⃗)z=lim⁡S(l)→0(∂Ey∂x−∂Ex∂y)dxdydxdy=∂Ey∂x−∂Ex∂y(curl \vec{E})_z=\lim_{S(l) \to 0} \frac{(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y})dxdy}{dxdy}=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}(curlE)z=S(l)→0limdxdy(∂x∂Ey−∂y∂Ex)dxdy=∂x∂Ey−∂y∂Ex

我们可以在y-z平面与x-z平面上做类似的操作：
(curlE⃗)x=∂Ez∂y−∂Ey∂z(curlE⃗)y=∂Ex∂z−∂Ez∂x(curl \vec{E})_x=\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} \\ (curl \vec{E})_y=\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}(curlE)x=∂y∂Ez−∂z∂Ey(curlE)y=∂z∂Ex−∂x∂Ez

也就是
curlE⃗=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zExEyEz∣=∇×E⃗curl \vec{E} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z\end{matrix} \right|=\nabla \times \vec{E}curlE=∣∣∣∣∣∣i∂x∂Exj∂y∂Eyk∂z∂Ez∣∣∣∣∣∣=∇×E

接下来我们分析Faraday定律的另一边，同样以x-y平面为例，
lim⁡S(l)→01S(l)∫S(l)B⃗⋅dA⃗=lim⁡S(l)→0Bzdxdydxdy=Bz\lim_{S(l) \to 0} \frac{1}{S(l)}\int_{S(l)}\vec{B} \cdot d\vec{A} = \lim_{S(l) \to 0} \frac{B_zdxdy}{dxdy}=B_zS(l)→0limS(l)1∫S(l)B⋅dA=S(l)→0limdxdyBzdxdy=Bz

另外两个平面与之类似，所以
∇×E⃗=−dB⃗dt\nabla \times \vec{E}=-\frac{d\vec{B}}{dt}∇×E=−dtdB

需要注意的是ddt\frac{d}{dt}dtd表示对时间的全导数，因为场是位置与时间的函数，如果场是运动的，那么位置就是时间的函数，于是
ddt=∂∂t+∂∂x∂x∂t+∂∂y∂y∂t+∂∂z∂z∂t=∂∂t+v⃗⋅∇\frac{d}{dt} = \frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t}+\vec{v} \cdot \nabladtd=∂t∂+∂x∂∂t∂x+∂y∂∂t∂y+∂z∂∂t∂z=∂t∂+v⋅∇

这里的v⃗\vec{v}v表示场的运动速度；在Faraday定理中，我们假设磁场是静止的，于是
dB⃗dt=∂B⃗∂t\frac{d\vec{B}}{dt}= \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}dtdB=∂t∂B

综上，
∇×E⃗=−∂B⃗∂t\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}∇×E=−∂t∂B

Ampere定律

运动电荷产生磁场：
B⃗=qv⃗×r⃗∣r⃗∣3\vec{B}=\frac{q\vec{v} \times \vec{r}}{|\vec{r}|^3}B=∣r∣3qv×r

根据电流的定义qv⃗=qdl⃗dt=Idl⃗q\vec{v}=q\frac{d \vec{l}}{dt}=Id\vec{l}qv=qdtdl=Idl，于是
B⃗=Idl⃗×r⃗∣r⃗∣3\vec{B} = \frac{Id \vec{l} \times \vec{r}}{|\vec{r}|^3}B=∣r∣3Idl×r

用更严谨的形式表达：
∮lB⃗⋅dl⃗∝4πI\oint_l \vec{B} \cdot d\vec{l}\propto 4\pi I∮lB⋅dl∝4πI

这就是安培定律，4πϵ4\pi \epsilon4πϵ是真空磁导率。与Faraday定律类似的，我们引入circulation of magnetic field
curlB⃗=lim⁡S(l)→01S(l)∮lB⃗⋅dl⃗=∇×B⃗curl \vec{B}=\lim_{S(l) \to 0} \frac{1}{S(l)}\oint_l \vec{B} \cdot d\vec{l} = \nabla \times \vec{B}curlB=S(l)→0limS(l)1∮lB⋅dl=∇×B

引入电流密度J⃗\vec{J}J，使得
I=∫S(l)J⃗⋅dA⃗I = \int_{S(l)} \vec{J} \cdot d\vec{A}I=∫S(l)J⋅dA

则
lim⁡S(l)→01S(l)∫S(l)J⃗⋅dA⃗=J⃗\lim_{S(l) \to 0} \frac{1}{S(l)}\int_{S(l)} \vec{J} \cdot d\vec{A}=\vec{J}S(l)→0limS(l)1∫S(l)J⋅dA=J

这样我们就得到了原版的安培定律的微分形式
∇×B⃗=4πJ\nabla \times \vec{B}=4\pi J∇×B=4πJ

但这个方程有问题，下面就是麦克斯韦的贡献了：旋度的散度一定是0，
∇⋅(∇×B⃗)=0\nabla \cdot (\nabla \times \vec{B})=0∇⋅(∇×B)=0

根据安培定律
∇⋅J⃗=0\nabla \cdot \vec{J}=0∇⋅J=0

这种表达的含义是某种守恒，如果取一个体积元，那么这个式子说明流入这个体积元的电流密度与流出这个体积元的电流密度相等，电流密度是电荷运动带来的，所以这种守恒的本质是电荷的守恒，我们想知道这种电荷的守恒是否成立？

考虑上图所示的情形，假设某个时间微元内，我们讨论的空间发生了一些概念，V′V'V′是变化后的空间区域，假设空间区域变化的速度场为v⃗\vec{v}v，则体积微元为
dV=dA⃗⋅v⃗dtdV = d\vec{A} \cdot \vec{v}dtdV=dA⋅vdt

如果上面讨论的关于电荷的守恒律成立，则
dQdt=0=lim⁡δt→01δt[∫V′ρ(r⃗,t+δt)dV−∫Vρ(r⃗,t)dV]\frac{dQ}{dt}=0=\lim_{\delta t \to 0} \frac{1}{\delta t}[\int_{V'} \rho(\vec{r},t+\delta t)dV-\int_{V} \rho(\vec{r},t)dV]dtdQ=0=δt→0limδt1[∫V′ρ(r,t+δt)dV−∫Vρ(r,t)dV]

这里的ρ\rhoρ表示电荷密度。我们把第一项拆分：
∫V′ρ(r⃗,t+δt)dV=∫Vρ(r⃗,t+δt)dV+∫ΔVρ(r⃗,t+δt)dV\int_{V'} \rho(\vec{r},t+\delta t)dV=\int_{V} \rho(\vec{r},t+\delta t)dV+\int_{\Delta V} \rho(\vec{r},t+\delta t)dV∫V′ρ(r,t+δt)dV=∫Vρ(r,t+δt)dV+∫ΔVρ(r,t+δt)dV

把拆分出来的第一项与原式子中的第二项结合
lim⁡δt→01δt[∫Vρ(r⃗,t+δt)−ρ(r⃗,t)dV+∫ΔVρ(r⃗,t+δt)dV]=∫V∂ρ∂tdV+lim⁡δ→01δt∮Sρ(r⃗,t+δt)dA⃗⋅v⃗dt=∫V∂ρ∂tdV+∮SJ⃗⋅dA⃗\lim_{\delta t \to 0} \frac{1}{\delta t}[\int_{V} \rho(\vec{r},t+\delta t)-\rho(\vec{r},t)dV+\int_{\Delta V} \rho(\vec{r},t+\delta t)dV] \\ =\int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV+\lim_{\delta \to 0} \frac{1}{\delta t} \oint_S \rho(\vec{r},t+\delta t)d\vec{A} \cdot \vec{v}dt \\ = \int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV+\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{A}δt→0limδt1[∫Vρ(r,t+δt)−ρ(r,t)dV+∫ΔVρ(r,t+δt)dV]=∫V∂t∂ρdV+δ→0limδt1∮Sρ(r,t+δt)dA⋅vdt=∫V∂t∂ρdV+∮SJ⋅dA

提示：电流密度满足
J=lim⁡dt→0dQdt=ρvJ = \lim_{dt \to 0} \frac{dQ}{dt} = \rho vJ=dt→0limdtdQ=ρv

现在考虑电荷密度的变化率：
lim⁡V→01VdQdt=lim⁡V→01V(∫V∂ρ∂tdV+∮SJ⃗⋅dA⃗)=0\lim_{V \to 0}\frac{1}{V} \frac{dQ}{dt}= \lim_{V \to 0} \frac{1}{V}(\int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV+\oint_S \vec{J} \cdot d\vec{A})=0V→0limV1dtdQ=V→0limV1(∫V∂t∂ρdV+∮SJ⋅dA)=0

所以
∂ρ∂t+∇⋅J⃗=0\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \vec{J}=0∂t∂ρ+∇⋅J=0

这个式子表示的是在变化空间中的电荷守恒律，我们称它为连续性方程(continuity equation)。如果∇⋅J⃗=0\nabla \cdot \vec{J}=0∇⋅J=0，那么∂ρ∂t=0\frac{\partial \rho}{\partial t}=0∂t∂ρ=0，根据电场强度的Gauss定律，
∇⋅∂∂tE⃗=4π∂ρ∂t\nabla\cdot \frac{\partial }{\partial t}\vec{E}=4\pi \frac{\partial \rho}{\partial t}∇⋅∂t∂E=4π∂t∂ρ

如果∂ρ∂t=0\frac{\partial \rho}{\partial t}=0∂t∂ρ=0，那么∂∂tE⃗=0\frac{\partial }{\partial t}\vec{E}=0∂t∂E=0，麦克斯韦根据这个观察，把∂∂tE⃗\frac{\partial }{\partial t}\vec{E}∂t∂E加入到安培定律中，得到了下面的Maxwell-Ampere方程

∇×B⃗=4πJ+∂E⃗∂t\nabla \times \vec{B}=4\pi J+\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}∇×B=4πJ+∂t∂E