高等数学（第七版）同济大学习题2-5 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题2-5

1.已知y=x3−x，计算在x=2处当Δx分别等于1，0.1，0.01时的Δy及dy.\begin{aligned}&1. \ 已知y=x^3-x，计算在x=2处当\Delta x分别等于1，0.1，0.01时的\Delta y及dy.&\end{aligned}1. 已知y=x3−x，计算在x=2处当Δx分别等于1，0.1，0.01时的Δy及dy.

解：

Δy=f(x+Δx)−f(x)=(x+Δx)3−(x+Δx)−x3+x=3x(Δx)2+3x2Δx+(Δx)3−Δx在x=2处，Δx=1时，Δy=18，Δx=0.1时，Δy=1.161，Δx=0.01时，Δy=0.110601dy=f′(x)Δx=(3x2−1)Δx在x=2处，Δx=1时，dy=11，Δx=0.1时，dy=1.1，Δx=0.01时，dy=0.11\begin{aligned} &\ \ \Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^3-(x+\Delta x)-x^3+x=3x(\Delta x)^2+3x^2\Delta x+(\Delta x)^3-\Delta x\\\\ &\ \ 在x=2处，\Delta x=1时，\Delta y=18，\Delta x=0.1时，\Delta y=1.161，\Delta x=0.01时，\Delta y=0.110601\\\\ &\ \ dy=f'(x)\Delta x=(3x^2-1)\Delta x\\\\ &\ \ 在x=2处，\Delta x=1时，dy=11，\Delta x=0.1时，dy=1.1，\Delta x=0.01时，dy=0.11 & \end{aligned} Δy=f(x+Δx)−f(x)=(x+Δx)3−(x+Δx)−x3+x=3x(Δx)2+3x2Δx+(Δx)3−Δx 在x=2处，Δx=1时，Δy=18，Δx=0.1时，Δy=1.161，Δx=0.01时，Δy=0.110601 dy=f′(x)Δx=(3x2−1)Δx 在x=2处，Δx=1时，dy=11，Δx=0.1时，dy=1.1，Δx=0.01时，dy=0.11

2.设函数y=f(x)的图形如图2−12，试在图2−12(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、Δy及Δy−dy，并说明其正负。\begin{aligned}&2. \ 设函数y=f(x)的图形如图2-12，试在图2-12(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x_0的dy、\Delta y\\\\&\ \ \ \ 及\Delta y -dy，并说明其正负。&\end{aligned}2. 设函数y=f(x)的图形如图2−12，试在图2−12(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、Δy 及Δy−dy，并说明其正负。

解：

(a)Δy>0,dy>0,Δy−dy>0(b)Δy>0,dy>0,Δy−dy<0(c)Δy<0,dy<0,Δy−dy<0(d)Δy<0,dy<0,Δy−dy>0\begin{aligned} &\ \ (a)\ \Delta y \gt 0, \ dy \gt 0, \ \Delta y-dy \gt 0\\\\ &\ \ (b)\ \Delta y \gt 0, \ dy \gt 0, \ \Delta y-dy \lt 0\\\\ &\ \ (c)\ \Delta y \lt 0, \ dy \lt 0, \ \Delta y-dy \lt 0\\\\ &\ \ (d)\ \Delta y \lt 0, \ dy \lt 0, \ \Delta y-dy \gt 0 & \end{aligned} (a) Δy>0, dy>0, Δy−dy>0 (b) Δy>0, dy>0, Δy−dy<0 (c) Δy<0, dy<0, Δy−dy<0 (d) Δy<0, dy<0, Δy−dy>0

3.求下列函数的微分：\begin{aligned}&3. \ 求下列函数的微分：&\end{aligned}3. 求下列函数的微分：

(1)y=1x+2x； (2)y=xsin2x；(3)y=xx2+1； (4)y=ln2(1−x)；(5)y=x2e2x； (6)y=e−xcos(3−x)；(7)y=arcsin1−x2； (8)y=tan2(1+2x2)；(9)y=arctan1−x21+x2； (10)s=Asin(ωt+φ)(A、ω、φ是常数).\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=\frac{1}{x}+2\sqrt{x}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=xsin\ 2x；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=ln^2(1-x)；\\\\ &\ \ (5)\ \ y=x^2e^{2x}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ y=e^{-x}cos(3-x)；\\\\ &\ \ (7)\ \ y=arcsin\sqrt{1-x^2}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \ y=tan^2(1+2x^2)；\\\\ &\ \ (9)\ \ y=arctan\frac{1-x^2}{1+x^2}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (10)\ \ s=Asin(\omega t+\varphi)\ (A、\omega、\varphi是常数). & \end{aligned} (1) y=x1+2x； (2) y=xsin 2x； (3) y=x2+1x； (4) y=ln2(1−x)； (5) y=x2e2x； (6) y=e−xcos(3−x)； (7) y=arcsin1−x2； (8) y=tan2(1+2x2)； (9) y=arctan1+x21−x2； (10) s=Asin(ωt+φ) (A、ω、φ是常数).

解：

(1)dy=y′dx=(−1x2+1x)dx(2)dy=y′dx=(sin2x+2xcos2x)dx(3)dy=y′dx=x′x2+1−x(x2+1)′x2+1dx=1(x2+1)3dx(4)dy=y′dx=(ln2(1−x))′dx=2ln(1−x)−11−xdx=2ln(1−x)x−1dx(5)dy=y′dx=(x2e2x)′dx=(2xe2x+2x2e2x)dx=2xe2x(1+x)dx(6)dy=y′dx=(e−xcos(3−x))′dx=(−e−xcos(3−x)+e−xsin(3−x))dx=e−x[sin(3−x)−cos(3−x)]dx(7)dy=y′dx=(arcsin1−x2)′dx=−x∣x∣1−x2dx={dx1−x2，−1<x<0，−dx1−x2，0<x<1(8)dy=y′dx=(tan2(1+2x2))′dx=8xsin(1+2x2)cos3(1+2x2)dx(9)dy=y′dx=(arctan1−x21+x2)′dx=(11+(1−x2)2(1+x2)2⋅(1−x2)′(1+x2)−(1−x2)(1+x2)′(1+x2)2)dx=−2xx4+1dx(10)ds=s′dt=(Asin(ωt+φ))′dt=Aωcos(ωt+φ)dt\begin{aligned} &\ \ (1)\ dy=y'dx=\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx\\\\ &\ \ (2)\ dy=y'dx=(sin\ 2x+2xcos\ 2x)dx\\\\ &\ \ (3)\ dy=y'dx=\frac{x'\sqrt{x^2+1}-x(\sqrt{x^2+1})'}{x^2+1}dx=\frac{1}{\sqrt{(x^2+1)^3}}dx\\\\ &\ \ (4)\ dy=y'dx=(ln^2(1-x))'dx=2ln(1-x)\frac{-1}{1-x}dx=\frac{2ln(1-x)}{x-1}dx\\\\ &\ \ (5)\ dy=y'dx=(x^2e^{2x})'dx=(2xe^{2x}+2x^2e^{2x})dx=2xe^{2x}(1+x)dx\\\\ &\ \ (6)\ dy=y'dx=(e^{-x}cos(3-x))'dx=(-e^{-x}cos(3-x)+e^{-x}sin(3-x))dx=e^{-x}[sin(3-x)-cos(3-x)]dx\\\\ &\ \ (7)\ dy=y'dx=(arcsin\sqrt{1-x^2})'dx=-\frac{x}{|x|\sqrt{1-x^2}}dx=\begin{cases}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}，-1 \lt x \lt 0，\\\\-\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}，0 \lt x \lt 1\end{cases}\\\\ &\ \ (8)\ dy=y'dx=(tan^2(1+2x^2))'dx=\frac{8xsin(1+2x^2)}{cos^3(1+2x^2)}dx\\\\ &\ \ (9)\ dy=y'dx=\left(arctan\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)'dx=\left(\frac{1}{1+\frac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}\cdot \frac{(1-x^2)'(1+x^2)-(1-x^2)(1+x^2)'}{(1+x^2)^2}\right)dx=-\frac{2x}{x^4+1}dx\\\\ &\ \ (10)\ ds=s'dt=(Asin(\omega t+\varphi))'dt=A\omega cos(\omega t+\varphi)dt & \end{aligned} (1) dy=y′dx=(−x21+x1)dx (2) dy=y′dx=(sin 2x+2xcos 2x)dx (3) dy=y′dx=x2+1x′x2+1−x(x2+1)′dx=(x2+1)31dx (4) dy=y′dx=(ln2(1−x))′dx=2ln(1−x)1−x−1dx=x−12ln(1−x)dx (5) dy=y′dx=(x2e2x)′dx=(2xe2x+2x2e2x)dx=2xe2x(1+x)dx (6) dy=y′dx=(e−xcos(3−x))′dx=(−e−xcos(3−x)+e−xsin(3−x))dx=e−x[sin(3−x)−cos(3−x)]dx (7) dy=y′dx=(arcsin1−x2)′dx=−∣x∣1−x2xdx=⎩⎨⎧1−x2dx，−1<x<0，−1−x2dx，0<x<1 (8) dy=y′dx=(tan2(1+2x2))′dx=cos3(1+2x2)8xsin(1+2x2)dx (9) dy=y′dx=(arctan1+x21−x2)′dx=⎝⎛1+(1+x2)2(1−x2)21⋅(1+x2)2(1−x2)′(1+x2)−(1−x2)(1+x2)′⎠⎞dx=−x4+12xdx (10) ds=s′dt=(Asin(ωt+φ))′dt=Aωcos(ωt+φ)dt

4.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：\begin{aligned}&4. \ 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：&\end{aligned}4. 将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：

(1)d()=2dx； (2)d()=3xdx；(3)d()=costdt； (4)d()=sinωxdx(ω≠0)；(5)d()=11+xdx； (6)d()=e−2xdx；(7)d()=1xdx； (8)d()=sec23xdx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ d(\ \ )=2dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ d(\ \ )=3xdx；\\\\ &\ \ (3)\ \ d(\ \ )=cos\ tdt；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ d(\ \ )=sin\ \omega xdx\ (\omega \neq 0)；\\\\ &\ \ (5)\ \ d(\ \ )=\frac{1}{1+x}dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ d(\ \ )=e^{-2x}dx；\\\\ &\ \ (7)\ \ d(\ \ )=\frac{1}{\sqrt{x}}dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)\ \ d(\ \ )=sec^23xdx. & \end{aligned} (1) d( )=2dx； (2) d( )=3xdx； (3) d( )=cos tdt； (4) d( )=sin ωxdx (ω=0)； (5) d( )=1+x1dx； (6) d( )=e−2xdx； (7) d( )=x1dx； (8) d( )=sec23xdx.

解：

(1)d(2x+C)=2dx，C为任意常数(2)d(32x2+C)=3xdx，C为任意常数(3)d(sint+C)=costdt，C为任意常数(4)d(−1ωcosωx+C)=sinωxdx，C为任意常数(5)d(ln(1+x)+C)=11+xdx，C为任意常数(6)d(−12e−2x+C)=e−2xdx，C为任意常数(7)d(2x+C)=1xdx，C为任意常数(8)d(13tan3x+C)=sec23xdx，C为任意常数\begin{aligned} &\ \ (1)\ d(2x+C)=2dx，C为任意常数\\\\ &\ \ (2)\ d(\frac{3}{2}x^2+C)=3xdx，C为任意常数\\\\ &\ \ (3)\ d(sin\ t+C)=cos\ tdt，C为任意常数\\\\ &\ \ (4)\ d(-\frac{1}{\omega}cos\ \omega x+C)=sin\ \omega xdx，C为任意常数\\\\ &\ \ (5)\ d(ln(1+x)+C)=\frac{1}{1+x}dx，C为任意常数\\\\ &\ \ (6)\ d(-\frac{1}{2}e^{-2x}+C)=e^{-2x}dx，C为任意常数\\\\ &\ \ (7)\ d(2\sqrt{x}+C)=\frac{1}{\sqrt{x}}dx，C为任意常数\\\\ &\ \ (8)\ d(\frac{1}{3}tan\ 3x+C)=sec^23xdx，C为任意常数 & \end{aligned} (1) d(2x+C)=2dx，C为任意常数 (2) d(23x2+C)=3xdx，C为任意常数 (3) d(sin t+C)=cos tdt，C为任意常数 (4) d(−ω1cos ωx+C)=sin ωxdx，C为任意常数 (5) d(ln(1+x)+C)=1+x1dx，C为任意常数 (6) d(−21e−2x+C)=e−2xdx，C为任意常数 (7) d(2x+C)=x1dx，C为任意常数 (8) d(31tan 3x+C)=sec23xdx，C为任意常数

5.如图2−13所示的电缆AOB⌢的长为s，跨度为2l，电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f，则电缆长可按下面公式计算s=2l(1+2f23l2)，当f变化了Δf时，电缆长的变化约为多少？\begin{aligned}&5. \ 如图2-13所示的电缆\overset{\LARGE\frown}{AOB}的长为s，跨度为2l，电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f，\\\\&\ \ \ \ \ 则电缆长可按下面公式计算s=2l\left(1+\frac{2f^2}{3l^2}\right)，当f变化了\Delta f时，电缆长的变化约为多少？&\end{aligned}5. 如图2−13所示的电缆AOB⌢的长为s，跨度为2l，电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f，则电缆长可按下面公式计算s=2l(1+3l22f2)，当f变化了Δf时，电缆长的变化约为多少？

解：

s=2l(1+2f23l2)，Δs≈ds=2l⋅4f3l2Δf=8f3lΔf\begin{aligned} &\ \ s=2l\left(1+\frac{2f^2}{3l^2}\right)，\Delta s \approx ds=2l \cdot \frac{4f}{3l^2}\Delta f=\frac{8f}{3l}\Delta f & \end{aligned} s=2l(1+3l22f2)，Δs≈ds=2l⋅3l24fΔf=3l8fΔf

6.设扇形的圆心角α=60∘，半径R=100cm（图2−14）。如果R不变，α减少30′，问扇形面积大约改变了多少？又如果α不变，R增加了1cm，问扇形面积大约改变了多少？\begin{aligned}&6. \ 设扇形的圆心角\alpha =60^{\circ}，半径R=100\ cm（图2-14）。如果R不变，\alpha减少30'，\\\\&\ \ \ \ \ 问扇形面积大约改变了多少？又如果\alpha不变，R增加了1\ cm，问扇形面积大约改变了多少？&\end{aligned}6. 设扇形的圆心角α=60∘，半径R=100 cm（图2−14）。如果R不变，α减少30′，问扇形面积大约改变了多少？又如果α不变，R增加了1 cm，问扇形面积大约改变了多少？

解：

扇形面积公式S=R22α，ΔS≈dS=R22Δα当R=100，Δα=−30′=−π360，α=π3时，ΔS≈12⋅1002⋅(−π360)≈−43.63cm2当R=100，ΔR=1，α=π3时，ΔS≈π3⋅100⋅1≈104.72cm2\begin{aligned} &\ \ 扇形面积公式S=\frac{R^2}{2}\alpha，\Delta S \approx dS=\frac{R^2}{2}\Delta \alpha\\\\ &\ \ 当R=100，\Delta \alpha=-30'=-\frac{\pi}{360}，\alpha=\frac{\pi}{3}时，\Delta S \approx \frac{1}{2}\cdot 100^2 \cdot \left(-\frac{\pi}{360}\right) \approx -43.63\ cm^2\\\\ &\ \ 当R=100，\Delta R=1，\alpha =\frac{\pi}{3}时，\Delta S \approx \frac{\pi}{3} \cdot 100 \cdot 1 \approx 104.72\ cm^2 & \end{aligned} 扇形面积公式S=2R2α，ΔS≈dS=2R2Δα 当R=100，Δα=−30′=−360π，α=3π时，ΔS≈21⋅1002⋅(−360π)≈−43.63 cm2 当R=100，ΔR=1，α=3π时，ΔS≈3π⋅100⋅1≈104.72 cm2

7.计算下列三角函数值的近似值：\begin{aligned}&7. \ 计算下列三角函数值的近似值：&\end{aligned}7. 计算下列三角函数值的近似值：

(1)cos29∘； (2)tan136∘.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ cos\ 29^{\circ}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ tan\ 136^{\circ}. & \end{aligned} (1) cos 29∘； (2) tan 136∘.

解：

(1)cos29∘=cos(π6−π180)≈cosπ6+(−sinπ6)⋅(−π180)≈32+π360≈0.8748.(2)tan136∘=tan(34π+π180)≈tan34π+sec234π⋅π180≈−0.9651\begin{aligned} &\ \ (1)\ cos\ 29^{\circ} = cos\ \left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{180}\right) \approx cos\ \frac{\pi}{6}+(-sin\ \frac{\pi}{6}) \cdot \left(-\frac{\pi}{180}\right) \approx \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{360} \approx 0.8748.\\\\ &\ \ (2)\ tan\ 136^{\circ} = tan\ \left(\frac{3}{4}\pi+\frac{\pi}{180}\right) \approx tan\ \frac{3}{4}\pi+sec^2\ \frac{3}{4}\pi \cdot \frac{\pi}{180} \approx -0.9651 & \end{aligned} (1) cos 29∘=cos (6π−180π)≈cos 6π+(−sin 6π)⋅(−180π)≈23+360π≈0.8748. (2) tan 136∘=tan (43π+180π)≈tan 43π+sec2 43π⋅180π≈−0.9651

8.计算下列反三角函数值的近似值：\begin{aligned}&8. \ 计算下列反三角函数值的近似值：&\end{aligned}8. 计算下列反三角函数值的近似值：

(1)arcsin0.5002； (2)arccos0.4995.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ arcsin\ 0.5002；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ arccos\ 0.4995. & \end{aligned} (1) arcsin 0.5002； (2) arccos 0.4995.

解：

(1)arcsin0.5002≈arcsin0.5+11−(0.5)2⋅0.0002≈30∘47′′(2)arccos0.4995≈arccos0.5−11−(0.5)2⋅(−0.0005)≈60∘2′\begin{aligned} &\ \ (1)\ arcsin\ 0.5002 \approx arcsin\ 0.5+\frac{1}{\sqrt{1-(0.5)^2}}\cdot 0.0002 \approx 30^{\circ}47''\\\\ &\ \ (2) \ arccos\ 0.4995 \approx arccos\ 0.5-\frac{1}{\sqrt{1-(0.5)^2}}\cdot (-0.0005) \approx 60^{\circ}2' & \end{aligned} (1) arcsin 0.5002≈arcsin 0.5+1−(0.5)21⋅0.0002≈30∘47′′ (2) arccos 0.4995≈arccos 0.5−1−(0.5)21⋅(−0.0005)≈60∘2′

9.当∣x∣较小时，证明下列近似公式：\begin{aligned}&9. \ 当|x|较小时，证明下列近似公式：&\end{aligned}9. 当∣x∣较小时，证明下列近似公式：

(1)tanx≈x（x是角的弧度值）； (2)ln(1+x)≈x；(3)1+xn≈1+1nx； (4)ex≈1+x.并计算tan45′和ln1.002的近似值。\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ tan\ x \approx x（x是角的弧度值）；\ \ \ \ \ (2)\ \ ln(1+x) \approx x；\\\\ &\ \ (3)\ \ \sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n}x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ e^x \approx 1+x.\\\\ &\ \ 并计算tan\ 45'和ln\ 1.002的近似值。 & \end{aligned} (1) tan x≈x（x是角的弧度值）； (2) ln(1+x)≈x； (3) n1+x≈1+n1x； (4) ex≈1+x. 并计算tan 45′和ln 1.002的近似值。

解：

(1)tanx≈tan0+(tan0)′⋅x=0+sec20⋅x=x(2)ln(1+x)≈ln(1+0)+[ln(1+x)]′⋅x=0+11+0x=x(3)1+xn≈1+0n+(1+0n)′⋅x=1+1n(1+0)1n−1⋅x=1+1nx(4)ex≈e0+(e0)′⋅x=1+e0x=1+x.tan45′=tan0.0131≈0.0131，ln(1.002)≈0.002.\begin{aligned} &\ \ (1)\ tan\ x \approx tan\ 0+(tan\ 0)'\cdot x =0+sec^2\ 0\cdot x=x\\\\ &\ \ (2)\ ln(1+x) \approx ln(1+0)+[ln(1+x)]'\cdot x=0+\frac{1}{1+0}x=x\\\\ &\ \ (3)\ \sqrt[n]{1+x} \approx \sqrt[n]{1+0}+(\sqrt[n]{1+0})'\cdot x=1+\frac{1}{n}(1+0)^{\frac{1}{n}-1}\cdot x=1+\frac{1}{n}x\\\\ &\ \ (4)\ e^x \approx e^0+(e^0)'\cdot x=1+e^0x=1+x.\\\\ &\ \ tan\ 45' = tan\ 0.0131 \approx 0.0131，ln(1.002) \approx 0.002. & \end{aligned} (1) tan x≈tan 0+(tan 0)′⋅x=0+sec2 0⋅x=x (2) ln(1+x)≈ln(1+0)+[ln(1+x)]′⋅x=0+1+01x=x (3) n1+x≈n1+0+(n1+0)′⋅x=1+n1(1+0)n1−1⋅x=1+n1x (4) ex≈e0+(e0)′⋅x=1+e0x=1+x. tan 45′=tan 0.0131≈0.0131，ln(1.002)≈0.002.

10.计算下列各根式的近似值：\begin{aligned}&10. \ 计算下列各根式的近似值：&\end{aligned}10. 计算下列各根式的近似值：

(1)9963； (2)656.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \sqrt[3]{996}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \sqrt[6]{65}. & \end{aligned} (1) 3996； (2) 665.

解：

(1)因1+xn≈1+xn，所以9963=1000−43=1−410003≈10[1+13(−41000)]≈9.987(2)656=64+16=21+1646≈2(1+16⋅164)≈2.0052\begin{aligned} &\ \ (1)\ 因\sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{x}{n}，所以\sqrt[3]{996} = \sqrt[3]{1000-4}=\sqrt[3]{1-\frac{4}{1000}} \approx 10\left[1+\frac{1}{3}\left(-\frac{4}{1000}\right)\right] \approx 9.987\\\\ &\ \ (2)\ \sqrt[6]{65}=\sqrt[6]{64+1}=2\sqrt[6]{1+\frac{1}{64}} \approx 2\left(1+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{64}\right) \approx 2.0052 & \end{aligned} (1) 因n1+x≈1+nx，所以3996=31000−4=31−10004≈10[1+31(−10004)]≈9.987 (2) 665=664+1=261+641≈2(1+61⋅641)≈2.0052

11.计算球体体积时，要求精确度在2%以内。问这时测量直径D的相对误差不能超多少？\begin{aligned}&11. \ 计算球体体积时，要求精确度在2\%以内。问这时测量直径D的相对误差不能超多少？&\end{aligned}11. 计算球体体积时，要求精确度在2%以内。问这时测量直径D的相对误差不能超多少？

解：

球体体积公式为V=16πR3，所以dV=16πD3，dV=π2D2ΔD，由于∣dVV∣=∣π2D2ΔD16πD3∣=3∣ΔDD∣≤2%，得出∣ΔDD∣≤0.023≈0.667%\begin{aligned} &\ \ 球体体积公式为V=\frac{1}{6}\pi R^3，所以dV=\frac{1}{6}\pi D^3，dV=\frac{\pi}{2}D^2\Delta D，\\\\ &\ \ 由于\left|\frac{dV}{V}\right|=\left|\frac{\frac{\pi}{2}D^2\Delta D}{\frac{1}{6}\pi D^3}\right|=3\left|\frac{\Delta D}{D}\right| \le 2\%，得出\left|\frac{\Delta D}{D}\right| \le \frac{0.02}{3} \approx 0.667\% & \end{aligned} 球体体积公式为V=61πR3，所以dV=61πD3，dV=2πD2ΔD，由于∣∣VdV∣∣=∣∣61πD32πD2ΔD∣∣=3∣∣DΔD∣∣≤2%，得出∣∣DΔD∣∣≤30.02≈0.667%

12.某厂生产如图2−15所示的扇形板，半径R=200mm，要求中心角α为55∘。产品检验时，一般用测量弦长l的办法来间接测量中心角α。如果测量弦长l时的误差δl=0.1mm，问由此而引起的中心角测量误差δα是多少？\begin{aligned}&12. \ 某厂生产如图2-15所示的扇形板，半径R=200\ mm，要求中心角\alpha 为55^{\circ}。产品检验时，\\\\&\ \ \ \ \ \ 一般用测量弦长l的办法来间接测量中心角\alpha。如果测量弦长l时的误差\delta_l=0.1\ mm，\\\\&\ \ \ \ \ \ 问由此而引起的中心角测量误差\delta_\alpha是多少？&\end{aligned}12. 某厂生产如图2−15所示的扇形板，半径R=200 mm，要求中心角α为55∘。产品检验时，一般用测量弦长l的办法来间接测量中心角α。如果测量弦长l时的误差δl=0.1 mm，问由此而引起的中心角测量误差δα是多少？

解：

由l2=Rsinα2得，α=2arcsinl2R=2arcsinl400，δα=∣αl′∣δl=21−(l400)2⋅1400⋅δl。当α=55∘时，l=2Rsinα2=400sin(27.5∘)≈184.7。因δl=0.1，所以δα≈21−(184.7400)2⋅1400⋅0.1≈0.00056=1′55′′.\begin{aligned} &\ \ 由\frac{l}{2}=Rsin\ \frac{\alpha}{2}得，\alpha=2arcsin\ \frac{l}{2R}=2arcsin\ \frac{l}{400}，\delta_\alpha=|\alpha_l'|\delta_l=\frac{2}{\sqrt{1-\left(\frac{l}{400}\right)^2}}\cdot \frac{1}{400}\cdot \delta_l。\\\\ &\ \ 当\alpha=55^{\circ}时，l=2Rsin\ \frac{\alpha}{2}=400sin(27.5^{\circ}) \approx 184.7。因\delta_l=0.1，所以\delta_\alpha \approx \frac{2}{\sqrt{1-\left(\frac{184.7}{400}\right)^2}}\cdot \frac{1}{400}\cdot 0.1 \approx 0.00056=1'55''. & \end{aligned} 由2l=Rsin 2α得，α=2arcsin 2Rl=2arcsin 400l，δα=∣αl′∣δl=1−(400l)22⋅4001⋅δl。当α=55∘时，l=2Rsin 2α=400sin(27.5∘)≈184.7。因δl=0.1，所以δα≈1−(400184.7)22⋅4001⋅0.1≈0.00056=1′55′′.