欧拉定理

1.引入基本概念
- 1.1互质
- 1.2质因数
- 1.3余数的基本性质
- 1.4同余
2.欧拉函数
- 2.1定义
- 2.2欧拉函数通式
- 2.3代码
3.欧拉定理
- 3.1定义
- 3.2证明
- 3.3费马小定理
4.应用及拓展
- 4.1求逆元
- 4.2欧拉降幂

1.引入基本概念

1.1互质

公约数只有1 的两个整数，称为互质。a与b互质，则写作 (a,b)=1 。

1.2质因数

质因数指能整除给定整数的质数，例如6的质因数为2和3。

1.3余数的基本性质

(a+b)%c = ((a%c)+(b%c)) % c
(a-b)%c = ((a%c) - (b%c)) % c
(a*b)%c = ((a%c) * (b%c)) % c

1.4同余

给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。

2.欧拉函数

2.1定义

对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目.

2.2欧拉函数通式

欧拉函数通式：φ(n)=n*(1-1/p₁)*(1-1/p₂)*(1-1/p₃)*(1-1/p₄)*……*(1-1/p_n)
p为n的质因数，n是不为0的正整数，φ(1)=1，质数的φ为自己减1 例如φ(2)=1

2.3代码

typedef long long ll;
ll Eular(ll n)
{ll ans=n;for(int i=2; i*i <= n; ++i){if(n%i == 0){ans = ans/i*(i-1);while(n%i == 0)n/=i;}}if(n > 1) ans = ans/n*(n-1);return ans;
}

还可以在素数筛的同时求欧拉函数,效率更高。

3.欧拉定理

3.1定义

对任意两个正整数 a, n，如果两者互质，那么 a^φ(n)≡1(mod n)。

3.2证明

先设集合P为小于n且与n互质的正整数集合{q₁ , q₂ , q₃ , … , q_φ(n)},这个集合有两个性质：

q_i与n互质
q_i模n后各不相同

再设集合Q为{a*q₁%n , a*q₂%n , a*q₃%n , … , a*q_φ(n)%n}
可证：

因为a与n互质，所以a*q%n也与n互质，即Q中各元素均与n互质
通过反证法，若a*q_i%n=a*q_j%n,那么
a*q_i-a*q_j=0 --> a*(q_i-q_j)=0 --> q_i-q_j=0 --> q_i=q_j
因为先前集合P中q_i各不相同，所以不成立，可得集合Q中元素各不相同

由上可得P，Q均为包含φ(n)个小于n且n互质且各不相同的元素集合，而这样的集合只有一个，可得P=Q；
所以集合P元素的乘积和集合Q元素的乘积相等：
q₁ * q₂ * q₃ * … * q_φ(n)=(a*q₁%n) * (a*q₂%n) * (a*q₃%n) * … * (a*q_φ(n)%n)
q₁ * q₂ * q₃ * … * q_φ(n)=a^φ(n) * (q₁ * q₂ * q₃ * … * q_φ(n))%n
同时除q₁-q_φ(n)即可得
a^φ(n)≡1(mod n)

3.3费马小定理

若存在整数a,p，a为整数，p为质数，那么a^(p-1)≡ 1(mod p)。

费马小定理是欧拉定理的一种特殊情况（当n为质数时φ(n)为n-1）

4.应用及拓展

4.1求逆元

定义：
对于a*b≡1(mod p)，b是a在模m下a的逆元。（只有a与p互质时存在逆元）
意义
余数的基本性质中只包括加减乘，当面对除法时，逆元就相当于是个倒数，可以将除法变为乘法，方便进行模运算。
应用
当p为质数时由费马小定理a^(p-1)≡ 1(mod p)得，逆元b为a^(p-2);
当p过大时需要使用快速幂进行计算；
当p不是质数时则需使用欧拉定理，提前求出p的欧拉函数，逆元b为a^(φ(n)-1)。
时间复杂度为O(nlongn)

4.2欧拉降幂

在求解a^bmod p时，如果b过大，使用暴力和快速幂是无法求解的，所以这时候就需要用到欧拉降幂来求解。
欧拉降幂公式为 a^bmod p = a^(b mod φ( p )+φ( p )) mod p
代码:

ll quickpow(ll a,ll b,ll mod)
{ll res=1%mod;while (b){if (b & 1) res = (long long)res * a % mod;a=(long long)a * a % mod;b >>= 1;}return res;
}
ll eular(ll n)
{ll ans = n;for(int i=2; i*i <= n; ++i){if(n%i == 0){ans = ans/i*(i-1);while(n%i == 0)n/=i;}}if(n > 1) ans = ans/n*(n-1);return ans;
}ll eularpow(ll a,ll b,ll p)
{ll phi = eular(p);ll tb = 0;tb=b%phi+phi;return quickpow(a,tb,p);
}
int main()
{ll a,b,p;cin>>a>>b>>p; cout<<eularpow(a,b,p);return 0;
}

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