组合数奇偶性的判断（附证明）

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方法一：

计算一下，然后看它的奇偶性；但是这个时间以及数据范围上都不允许；

方法二

对于给定C(n,m)，检查n！中2因子的个数与m！和(n-m)！中2因子个数和的关系，假设n!中2因子个数为a，m!中2因子个数为b，(n-m)!中2因子个数为c，则显然有a>=(b+c)；并且当a==b+c时，一定为奇，否则为偶。

方法三

由方法2可以很容易（稍后给出证明）地看出，n!中含有2因子的个数等于(n-它的二进制形式中1的个数)（每除一次如果有1的话去掉一个1）。那么题意再次转化为求m,n-m以及n的二进制形式中1的个数。或者说，看n&m ?= m，这个呢，如果等于，那么也就意味着，所有m中为1的位置n一定为1，那么n-m就可以直接用二进制减，这样得到的差的二进制中1的个数加上m中二进制1的位数正好等于n中1的位数，由前面可以知道，这就是一个奇数。

【关于方法三的证明】
先证明，若n=2mn=2^mn=2m，n！中2因子的个数为n−1n-1n−1（即2m−12^m-12m−1）
首先我们知道一个计算n!中2因子个数的方法
ans=[n/(21)]+[n/(22)]+[n/(23)]+...−−（1）ans=[n/(2^1)]+[n/(2^2)]+[n/(2^3)]+...--（1）ans=[n/(21)]+[n/(22)]+[n/(23)]+...−−（1）
那么由于此时的n=2mn=2^mn=2m，上述式子就是一个等比数列，求和可得ans=2m−1ans=2^m-1ans=2m−1

推广到更普遍的情况n!=2mn!=2^mn!=2m
那么我们肯定可以将n拆做：n=2x1+2x2+2x3+.....+2xm−−（2）n=2^{x1}+2^{x2}+2^{x3}+.....+2^{xm}--（2）n=2x1+2x2+2x3+.....+2xm−−（2）
将（2）代入（1）中，再次由等比数列求和，可得ans=(2x1−1)+(2x2−1)+(2x3−1)+....+(2xm−1)ans=(2^{x1}-1)+(2^{x2}-1)+(2^{x3}-1)+....+(2^{xm}-1)ans=(2x1−1)+(2x2−1)+(2x3−1)+....+(2xm−1)
然后打开括号~
完事儿

特别感谢stO ldx&cyk Orz

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