雅可比矩阵就是一种特殊的矩阵导数

考虑一个简单的问题：

。其中x是自变量，y是因变量。对两边求导可得：

。这里的

表示可以使式子成立的一个和a有关的一个值。

将上面的问题拓展到多维情况，可以得到：

,其中X为n*1的列向量，Y为m*1的列向量，则A为m*n的矩阵。仍然对两边求导，可以得到：

，其中

表示可以使式子成立的一个和A有关的一个值。这里的

就是雅可比矩阵。

考虑机器人学的相关问题

机器人学的正运动学问题可以表述为：

,其中

为各关节的角度，即某一时刻下机器人在关节空间中的描述。x为在机器人末端的位置和姿态，即某一时刻下机器人在笛卡尔空间中的描述。

为使上式成立的和

有关的一个矩阵。这里注意x，x的描述可能是任意的，其位置和姿态可以表示在任意坐标系下，其姿态可以表示为欧拉角或四元数等等，区别在于相关联的

会发生变化。

正运动学的表述为：机器人在笛卡尔空间中的位姿，可以通过机器人在关节空间中的位姿左乘一个和位姿相关的矩阵

。

考虑对上式进行求导，获得：

,这里的

即雅可比矩阵，即

，为一个和

有关的一个矩阵。表述为：机器人在笛卡尔空间中的速度，可以通过机器人在关节空间中的速度左乘一个和位姿相关的矩阵

。

常用公式

机器人学的正运动学问题：

,

机器人学的正运动学微分问题：

机器人学的力学问题：

机器人的可操作性指标：

机器人的柔度矩阵：

机器人的刚度矩阵：

以上这些公式，尤其是前三个公式，在各种文章及控制框图中非常常见，至少要知道输入输出关系，能够将高维问题转换为一维问题进行理解和计算。

末端运动由关节运动唯一确定，关节力矩由末端力矩唯一确定

速度分析

雅可比矩阵是一种特殊的矩阵求导，一定存在，即给定一个

,一定有一个确定的

与之对应——

但是，

不一定存在，即并不是每一个

都有一个确定的

与之对应——

这种情况包括：机器人不具有六个自由度，J不是方阵

机器人虽然具有六个自由度，但是J不可逆(出现在多关节平行或共线的情况)

令雅可比矩阵的行列式为0的机器人位姿称为机器人的奇异位姿。由于雅可比矩阵仅在机器人由六个自由度时才为方阵，具有行列式，因此这个定义实际上仅针对于六自由度机器人。对于其他形式的机器人，一般的，我们称令机器人的雅可比矩阵既不行满秩也不列满秩的位置为机器人的奇异位姿。

同时，即使J可逆，但是当雅可比的逆的行列式非常小时(即在奇异位形附近时)，也会造成很大问题，想要产生一个很小的

就需要一个很大的

，这对机器人操作是不利的。

力分析

考虑力学问题的逆问题：

，同样的，由于J不一定满秩，所以并非每一个关节力矩组合都会产生一个确定的广义力F与之对应。这个听起来有点不可思议。其实这句话应该这么说：并非每一个关节力矩，都对应一个广义力，使得广义力和关节力矩相平衡(即使机器人关节不产生加速度)。这种情况仍然发生在奇异位姿，此时机器人多个关节轴平行或重合，则不论末端怎么施加力，在这几个平行或重合的关节轴之间，一定使无法尊在一个力与之抵消的。如下图所示：

无论F如何，都无法和对应的关节力矩

相平衡，关节一定会发生旋转。

Q：和雅可比矩阵相关的角速度项是什么

实际上，在公式

以及其导数形式

中，x为6*1的向量，前三项为xyz方向上的位移，那么后三项是什么呢？xyz方向上的角速度么？欧拉角速度？

事实上不是这样的，虽然按照上面的定义也可以获得相应的运动学和雅可比矩阵形式。这里的x以及动力学中的F均采用的线矢量形式。

具体可以参考《机器人学——建模、控制与视觉》第四章“刚体速度与静力。《机器人学：建模、控制与视觉》(熊有伦，等)【摘要 书评 试读】- 京东图书​item.jd.com

我没看懂，看懂了回来填坑。