概率密度变换公式 雅可比矩阵_看懂蒙特卡洛积分(一) 概率分布变换与随机采样...
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蒙特卡洛积分是图形学中常用的数学工具, 这里就来总结下蒙特卡洛积分的原理和使用方式. 很多教程中把概率分布和积分是混在一起讲的, 个人觉得分开讲比较合适. 这篇文章就先来讲下概率分布变换和随机采样的部分.
概率论基础
这里快速回顾下概率论的基础, 这里不会特别深入精确地描述. 需要的朋友可以参考概率论相关的教材.
设
是随机变量,
是任意实数, 称函数
为随机变量
的分布函数/CDF, 或称
服从
, 记为
.
分布函数满足:单调不减;
右连续, 即
;
.
从分布函数求概率:
(1) 离散型变量
随机变量
只能取有限个可能的值, 称
为离散型随机变量, 称
为
的概率分布, 记为
.
可以用矩阵形式表示为:
.
离散型随机变量的概率分布满足
.
比如记掷骰子的点数为
, 得
的分布函数为
(2) 连续型变量
如果随机变量
的分布函数可以表示为:
称
为连续型随机变量, 称
为
的概率密度函数/概率密度/PDF, 记为
.
概率密度函数满足
.
对任意实数
, 有
.
取在某个区间的概率为:
比如现在假设
是一个均匀随机分布在
上的连续随机变量, 得
(3) 如果
是定义在样本空间上n个随机变量, 则称
为n维随机变量.
n维随机变量的分布函数定义为
n维随机变量的性质和上面类似, 这里不再一一描述.
随机值采样
在计算机中, 得到一个均匀随机分布在
上的随机数是很简单的, 我们这里用
表示服从
均匀分布的随机变量. 现在我们就来用
来得到我们想要的服从特定概率分布的随机变量.
(1) 离散型随机变量
对于离散型随机变量, 计算过程比较简单, 已知
, 假设从
推导出
的函数为
.
考虑到
在
上均匀分布, 只需要将
依概率映射到
样本空间中每个值即可. 得到
比如现在要得到
易得
(2) 连续型随机变量
比如现在要得到概率密度为
, 概率分布为
的随机变量
. 设变换函数为
, 即
. 为了下面计算方便, 我们先假设
是一个单调递增函数.
由概率分布定义可知:
已知
是单调递增函数, 可得:
已知
在
上均匀分布, 可得
可以得到
互为反函数, 即
我们平时遇到的概率分布函数都是不满足单调递增的, 只需要去掉概率密度为0的部分即可.
现在举两个例子:
A. 次方分布
设
在
上服从n次方分布, 即概率密度满足
, 设
, 由概率密度性质可知
可以解得:
由此算出
的概率分布函数:
将
限制在
上, 可得
B. 指数分布
设
的概率密度满足
.
推导的部分和上面相同, 可得:
这里的
的概率分布和
是相同的, 因此也可以写成
(3) 拒绝式随机
对于一些无法求出解析解的概率分布函数, 或者无法得到
反函数的概率分布函数, 可以用拒绝式随机方法.
假设我们现在想得到一个概率密度为
的随机变量
.
现在我们已有一个概率密度为
的随机变量 , 我们可以任意次得到一个服从
分布的随机变量
, 且其概率密度满足
.
这样, 我们就可以通过下面的方法来随机得到
:取一个服从
分布的随机变量值
;
在
上随机得到一个变量值
;
如果
, 则该次随机结果被接受, 返回
. 否者该次随机被拒绝, 重新执行第一步.
拒绝式随机方法的效率取决于
和
之间的贴合程度, 如果二者之间空隙很大, 就可能需要多次随机, 效率会比较低.
一个常见的拒绝式随机法的应用场景就是随机在一个圆中取一个点, 大致过程为:随机在单位圆中取一点
point p;
do {
p.x = rand() * 2 - 1;
p.y = rand() * 2 - 1;
} while(p.x * p.x + p.y + p.y > 1);
return p;
概率分布变换
现在已知一个随机变量
的概率密度为
, 现在我们令
, 现在我们要尝试求出
的概率密度函数
. 为了计算方便, 我们只考虑函数
是严格单调递增的情况, 平时我们需要求解的函数大部分都是满足严格单调递增的.
由概率分布函数定义可知:
对两边一起求导得:
这样, 我们成功计算出了
的概率密度函数.
比如现在有
, 令
, 可算出
的概率密度为:
现在, 让我们来考虑多维随机变量, 设
和
都是n维的随机变量,
和
之间的转换关系为
.
为矩阵函数, 即
,
.
可以推导得出:
表示
的雅可比矩阵的行列式的绝对值,
的雅可比矩阵为:
现在来看下实际应用的例子:
A. 极坐标系
极坐标系的变换为
假设我们现在已知关于极坐标的概率密度函数
, 现在来计算直角坐标系的概率密度.
对应的雅可比矩阵为:
求得行列式值为
. 这样, 我们得到两种坐标系之间的变换公式为:
B. 球坐标系
球坐标系到直角坐标系变换为:
可解得雅可比矩阵行列式值为
, 相应的概率密度为:
现在来考虑在单位球面上的情况. 在球坐标系中, 我们从立体角的定义可以得到:
立体角在某个
范围内的概率为:
得到概率密度的转换为:
二维随机变量采样
现在可以来尝试从二维随机变量中采样.
(1) 联合概率密度
在开始之前, 我们还需要来简单回顾下联合概率密度的概念.
设现在有二维连续型随机变量
, 二维随机变量的联合概率密度为
,
的联合分布函数为
二维随机变量的概率密度满足
的边缘概率密度为:
在
的条件下,
的条件概率密度为:
(2) 单位半球面采样
在单位半球面上均匀采样时, 每个立体角上都是等可能的. 由此得关于立体角的概率密度
是常数, 令其为
, 得
解得
, 由前面得到的结论可知
.
先来计算
, 得到
的边缘概率密度为:
再得到
的条件概率密度为:
的概率密度在
确定时是固定的, 这和我们的直觉是相同的. 接下来来计算相应的概率分布函数:
求相应的反函数, 并将
替换为
, 得到:
将结果用直角坐标系来表示:
(3) 随机单位球面采样
推导过程和上面的几乎一模一样, 这里不再赘述. 最终结果为:
(4) 随机单位圆采样
一个常见的错误是随机取半径, 随机取角度, 使用
来采样. 这样得到的结果会使得在圆的中心区域概率比边缘部分要高.左边是错误的采样方式得到的分布, 右边是正确的方式得到的分布
在单位圆上均匀采样时, 关于面积的概率密
是个常数, 可解得
. 转换为极坐标系下得表示为
. 使用和前面一样得推导过程得:
在
确定时, 因为圆的对称性,
是个固定常数. 进一步计算分布函数并取反函数可求得:
另外一种方式是使用正方形随机采样, 然后同心映射到圆上.
其中一个1/8部分的映射公式为:
另外七个部分的映射公式可用相似的方式得到.
(5) 单位半球面余弦权重采样
求解图形学中的渲染方程时, 许多BRDF方程都是和夹角余弦相关的, 因此按照余弦采样是很有必要的. 即
, 求解概率密度为:
这样, 我们就可以继续使用上面的方式来推导出结果.
不过这里要介绍下Malley方法的实现, Malley方法就是先在单位圆上随机采样, 然后将单位圆上的点作为半球面上点的投影, 来得到半球面上的点.
下面我们来验证一下这种方式的正确性:Malley方法得到半球面上按余弦权重采样点
已知单位圆上随机采样的点极坐标为
, 概率密度为
. 单位半球面上对应的点极坐标系为
, 两个坐标的关联为
. 这样得到雅可比矩阵为:
行列式值为
, 变换概率密度分布得:
刚好符合上面我们想要得概率密度函数, 这样就可以从单位圆采样得到单位半球面上得采样.
其余的在锥形区域, 三角形, 长方形区域随机采样的过程和结果都是类似的, 这里不再给出. 这样我们可以随意按照自己想要的概率密度进行随机数采样, 下一篇会讲述如何使用随机数来实现蒙特卡洛积分.
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