【复习笔记】线性代数——向量及向量组的线性相关性
目录
一、向量的概念和运算
二、向量组的表出与线性相关的概念
三、判别线性相关性的七大定理
一、向量的概念和运算
1、n维向量:n个数构成的一个有序数组称为一个n维向量,记成
2、运算:相等,加法,数乘
二、向量组的表出与线性相关的概念
1、线性组合
2、线性表出
3、线性相关
对m个n维向量,,若存在一组不全为0的数,,使得
,
则称该向量组线性相关。
4、线性无关
与线性无关相反,向量组或线形无关或线形相关,二者必居其一。
单个非零向量,两个不成比例的向量均线性无关。
三、判别线性相关性的七大定理
定理1 向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的m-1个向量线性表出。
证明:
(必要性)
设向量组线性相关,则存在m个不全为0的数,,使得
因为不全为0,不妨设, 则,证明完毕;
(充分性)
设可用线性表示,即,
于是,
显然,不全为0,则向量组线性相关,证明完毕。
定理2 若向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表出,并且表示法唯一
证明:
因为加上后线性相关,则可以得到存在不全为0的系数使向量组的线性组合为0,又因为加上 前的向量组线性无关,所以除了的系数全为0,将线性组合移项可得到的线性表达。
假设有两种不同的表示法,
于是相减得.
因为向量组线性无关,所以必有
与假设矛盾,故线性表示的表示法唯一。
表示法唯一也可以这么理解:因为向量组线性无关,可以认为向量组中的每一个向量只能表示一个维度的度量,如向量(0,0,1),(0,1,0)(1,0,0),几何意义来说,只表示xyz各自方向,互不影响,独立,组合起来表示的是一个空间物体,物体是唯一的,那么表示法也是唯一的。
定理3 如果向量组可由向量组,线性表达,且,则线性相关。
(高维空间可以表示低维空间,反之则不可)
证明:设出的所有的含线性表达(k),因为 线性相关,则其存在不全为0的系数(l),使向量组的线性组合为0。
令t=3,s=2,设
需证明存在,
使得
代入发现三个未知数,而只有两个方程,故必存在非零l使得方程成立(可以给定一个,求解另外两个)。
从几何上来理解,这个也相当于,三维空间,令某一维不表出(为0)从而可以表出二维的向量。而二维向量无法表出三维。(x,y,z)能表示空间包含了平面的向量与(x,y)只能表示平面的向量。
定理4 向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非0解。
注:如果,即方程个数小于未知数个数(一行表示一个方程,一列表示一个未知数,n表示未知数的维度),则求解时必有自由未知量。
因此任何n+1个n维向量组成的向量组都是线性相关的。任何一个线性无关的n维向量组最多只能含有n个向量。
定理5 向量可以由向量组线性表出的充要条件是有解。(相当于加上之后的向量组的秩不变)
定理6 如果向量组中有一部分向量线性相关,则整个向量组也线性相关。(已经存在不全为0使向量组合为0,再加上就算后面的系数全为0,也满足线性相关的条件,是增加列不改变线性相关)
定理7 如果一组n维向量线性无关,则把这些向量增加m个分量得到的新向量(n+m维)也是线性无关的。(只有全0才能满足之前n维的组合为0,再加多行也无济于事。未知数都确定为0,再加方程的数量也改变不了)
如果向量组线性相关,那么去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的。(已经存在不全为0的系数使向量组合为0,就算去掉行,方程变少,未知数的量不变,所以也同样满足)
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