【每日一题】最少货币数

给定数组 arr，arr 中所有的值都为正整数。每个值代表一张钱的面值，再给定一个整数 aim 代表要找的钱数，求组成 aim 的最少货币数。

举例

arr= 【5,2,3】，aim = 20；返回 -1
- 5 元，2元，3元的钱各有 1 张，无法组成 20 元，返回默认值 -1
arr= 【5,2,5,3】，aim = 10；返回 2
- 2 张 5 元
arr= 【5,3】，aim=0；返回 0
- 不用任何货币就可以组成 0 元

解法一：暴力递归

f ( i,rest) 定义：使用 arr[ 0 : i+1] 的货币并且 aim = rest 时的最小货币数。

最终返回结果：f ( len(arr) - 1,aim )

可能性分类：

保留当前货币 arr[i] 的子问题：num1 = f( i -1, aim - arr[i] ) + 1
不保留当前货币 arr[i] 的子问题：num2 =f( i -1, aim )
决策： min(num1,num2) ：注意判断返回值的有效性（num1 != sys.maxsize），无效返回值表示此路不通，需要丢弃。

base case

无效参数：i < 0 or rest < 0
如果有货币等于 rest ，那么最小货币数为 1

import sysdef min_coins(array, aim):res = f(array, len(array) - 1, aim)return -1 if res == sys.maxsize else resdef f(array, i, rest):# base caseif i < 0 or rest < 0: return sys.maxsizefor j in range(i + 1):if array[j] == rest: return 1# 不保留 arr[i]num1 = f(array, i - 1, rest)# 保留 arr[i]num2 = f(array, i - 1, rest - array[i])res = sys.maxsizeif num1 != sys.maxsize:res = num1if num2 != sys.maxsize:res = min(res, num2 + 1)return res

解法二：动态规划

f 函数有两个变量

i：货币数组的下标（在dp 中为行）
rest：剩余钱数（在 dp 中为列）

def min_coins2(array, aim):if aim < 0 or not array: return -1if aim <= 0: return 0n = len(array)dp = [[sys.maxsize] * (aim + 1) for _ in range(n)]# base caseif array[0] <= aim: dp[array[0]] = 1for i in range(1, n):for j in range(aim + 1):left_up = 1 if array[i] == j else sys.maxsizeif j - array[i] >= 0 and dp[i - 1][j - array[i]] != sys.maxsize:left_up = dp[i - 1][j - array[i]] + 1dp[i][j] = min(left_up, dp[i - 1][j])return dp[-1][-1] if dp[-1][-1] != sys.maxsize else -1

解法二：滚动数组

滚动数组是从上向下滚动，填充充从右向左填充。

def min_coins3(array, aim):if aim < 0 or not array: return -1if aim <= 0: return 0n = len(array)dp = [sys.maxsize] * (aim + 1)# base caseif array[0] <= aim: dp[array[0]] = 1for i in range(1, n):for j in range(aim, -1, -1):# base caseleft_up = 1 if array[i] == j else sys.maxsizeif j - array[i] >= 0 and dp[j - array[i]] != sys.maxsize:left_up = dp[j - array[i]] + 1dp[j] = min(left_up, dp[j])return dp[-1] if dp[-1] != sys.maxsize else -1

对数器

import randomdef generator_random_arr(max_size, max_value):return [int(random.random() * max_value) + 1 for _ in range(int(random.random() * max_size) + 1)]def check():max_size = 10max_value = 10for _ in range(1000):arr = generator_random_arr(max_size, max_value)aim = int(random.random() * sum(arr)) + 1res = min_coins(arr, aim)res2 = min_coins2(arr, aim)res3 = min_coins3(arr, aim)if res != res2 or res != res3:print("ERROR", "res=", res, "res2=", res2, "res3=", res3, aim, arr)print("OVER")check()

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