一、数据型数据：方差和标准差

1.1 总体方差与标准差

1.1.1 方差的公式

1.1.2 标准差的公式

1.2 样本方差与标准差

1.2.1 方差的公式

1.2.2 标准差的公式

二、自由度

三、相对位置的度量：标准分数

四、度量相对离散程度：离散系数

一、数据型数据：方差和标准差

1.数据离散程度的最常用测度值

2.反映了各变量值与均值的平均差异

3.根据总体数据计算的，称为总体方差（标准差），记为δ²（δ）；根据样本数据计算的，称为样本方差（标准差），记为s²（s）

1.1 总体方差与标准差

1.1.1 方差的公式

未分组数据

组距分组数据

1.1.2 标准差的公式

未分组数据

组距分组数据

1.2 样本方差与标准差

1.2.1 方差的公式

未分组数据

组距分组数据

1.2.2 标准差的公式

未分组数据

组距分组数据

例：

分组数据的标准差

二、自由度

1.自由度是指数据个数与附加给独立的观测值的约束或限制的个数之差

2.从字面含义来看，自由度是指一组数据中可以自由取值的个数

3.当样本数据的个数为n时，若样本平均数确定后，则附加给n个观测值的约束个数就是1个，因此只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据不能自由取值

4.按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的约束个数为k个，自由度则为n-k

说明：

1.样本有三个值，X₁=2，X₂=4，X₃=9，当x拔=5确定后，X₁，X₂，X₃有两个数据可以自由取值，，另一个则不能自由取值，比如X₁=6，X₂=7，则X₃必然取2，而不能取其他值

2.样本方差的自由度为什么时n-1呢？因为计算离差平方和（（Xi-x拔）²）的时候，必须先求出样本均值x拔，而x拔则是附件给离差平方和的一个约束，因此计算离差平方和时只有n-1个独立的观测值，而不是n个

3.样本方差用自由度去除，其原因可以从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差s²去估计总体方差δ²时，他是δ²的无偏估计量

三、相对位置的度量：标准分数

1.也称标准化值

2.对某一个值在一组数据中相对位置的度量

3.可判断一组数据中是否有离群点

4.用于对变量的标准化处理

5.计算公式为（样本值-样本均值）/样本标准差

z分数只是将原始数据进行线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是使该组数剧均值为0，标准差为1

上图中均值x拔=34，标准差经过计算=6，反推回去就是25和34相差1.5倍的标准差

四、度量相对离散程度：离散系数

1.标准差与其相应的均值之比

2.对数据相对离散程度的测度

3.消除了数据水平高低和计量单位的影响

4.用于对不同组别数据离散程度的比较

5.计算公式为Vs=S/x拔

例：

经过计算得出X₁拔=536.25，X₂拔,32.5125

S₁=309.1896，S₂=23.09177

所以V₁=309.1/536.25=0.577，V₂=23.09177/32.5125=0.710

结论：计算结果表明V₁<V₂，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度

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1.2 样本方差与标准差

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二、自由度

三、相对位置的度量：标准分数

四、度量相对离散程度：离散系数

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