买卖股票的最佳时机(分治，dp)

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。
示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock

方法一：分治 O(nlgn)

要求最大利润，即p[j]-p[i]最大并且i < j. 将区间分为[l,mid-1]，[mid+1,r]两部分。则有三种情况。

买入的股票和卖出的股票都在区间[l,mid-1]完成。
买入的股票和卖出的股票都在区间[mid+1,r]完成。
区间穿过mid，在左区间买入股票，在右区间卖出股票。

对于情况1和2，递归完成。
对于情况3，已知情况是区间穿过mid，即mid在区间里。我们可以从mid开始向左遍历找到最小的p[i]，从mid开始向右遍历找到最大的p[j]，p[j]-p[i]就是[i…mid…j]的最大利润。
最后对三种情况取最大值。
下面上代码。

class Solution {public:int Merge(vector<int>& prices, int l, int r){if(l >= r){return 0;}int mid = l+r>>1;int x1 = Merge(prices,l,mid-1);int x2 = Merge(prices,mid+1,r);int l_min = prices[mid], r_max = prices[mid];for(int i = mid;i >= 0;i--)l_min = min(prices[i], l_min);for(int i = mid;i <= r;i++)r_max = max(r_max, prices[i]);int x3 = r_max - l_min;return max(max(x1,x2), x3);}int maxProfit(vector<int>& prices) {int n = prices.size();return Merge(prices,0,n-1);}
};

方法二：dp O(n)

要求最大利润，即p[j]-p[i]最大并且i < j. 如果我们能知道前j个元素中的最小值，就可以找到买股票的起点。因此令dp[i]表示前i个元素中的最小值，可以得到这样的状态转移方程：
dp[0] = p[0]，dp[i] = min(p[i], dp[i-1]).
那么a[i] - dp[i]就代表着前i个元素中的最大利润。我们枚举i，找到最大的i使得a[i]-dp[i]最大即可。
代码如下：

class Solution {public:int maxProfit(vector<int>& prices) {vector<int> dp(prices.size(),0);if(prices.size() == 0) return 0;int n = dp.size(), ans = 0;dp[0] = prices[0];for(int i = 1;i < n;i++){dp[i] = min(prices[i], dp[i-1]);ans = max(ans, prices[i]-dp[i]);}return ans;}
};

dp空间优化：

对于状态转移方程中的dp[i-1]的值，我们可以直接用一个Min代替数组的滚动。
下面上代码：

class Solution {public:int maxProfit(vector<int>& prices) {if(prices.size() == 0) return 0;int n = prices.size(), ans = 0, Min = prices[0];for(int i = 1;i < n;i++){Min = min(prices[i], Min);ans = max(ans, prices[i]-Min);}return ans;}
};