买卖股票的最佳时机III

思路

这道题目相对 121.买卖股票的最佳时机和 122.买卖股票的最佳时机II 难了不少。

关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

0.没有操作
1.第一次买入
2. 第一次卖出
3. 第二次买入
4. 第二次卖出

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

确定递推公式

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]

操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，所以

dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]

操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0，

从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。

所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？

不用管第几次，现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。

所以最终最大利润是dp[4][4]

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n * 5)

class Solution {public:int maxProfit(vector<int>& prices) {vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(5));dp[0][0]=0;dp[0][1]=-prices[0];dp[0][2]=0;dp[0][3]=-prices[0];dp[0][4]=0;for(int ii=1;ii<prices.size();ii++){dp[ii][0]=dp[ii-1][0];/*强调第一次：第ii天买入卖出股票的状态*/dp[ii][1]=max(dp[ii-1][0]-prices[ii],dp[ii-1][1]);dp[ii][2]=max(dp[ii-1][1]+prices[ii],dp[ii-1][2]);/*强调第二次：第ii天买入卖出股票的状态*/dp[ii][3]=max(dp[ii-1][2]-prices[ii],dp[ii-1][3]);dp[ii][4]=max(dp[ii-1][3]+prices[ii],dp[ii-1][4]);}return dp[prices.size()-1][4];}
};