递推与递归的简单应用

常见的枚举形式
实现指数型枚举
- DFS （一）
- DFS （二）
- 位运算（一）
- 位运算（二）
实现组合型枚举
- DFS + 剪枝
实现排列型枚举
- DFS
费解的开关
奇怪的汉诺塔
分形之城

常见的枚举形式

枚举形式	一般的遍历方法
多项式	循环，递推
指数	递归，位运算
排列	递归，c++ next_permutation
组合	递归+剪枝

实现指数型枚举

DFS （一）

思路是沿路径递增的形式输出。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>using namespace std;int n;
int path[100000];void dfs(int stp, int k) {for (int i = 0; i < k; ++i)printf("%d ", path[i]);putchar('\n');if (stp > n)return ;for (int i = stp; i <= n; ++i) {path[k++] = i; //选择dfs(i + 1, k); k -- ; //回溯，不选择}
}int  main() {scanf("%d", &n);dfs(1, 0);return 0;
}

DFS （二）

void calc(int x){if(x == n+1){for(int i =0;i<chosen.size();++i)printf("%d ",chosen[i]);putchar('\n');return ;}//两种选择calc(x+1); //不选chosen.push_back(x); // 选calc(x+1);chosen.pop_back(); // 回溯
}

位运算（一）

// 每一个数都有选与不选两种可能，所以是2的n次方种
for (int i = 0; i < (1 << n); ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j)if ((i >> j) & 1) //判断i的第j为是否选择cout << j + 1 << " ";cout << '\n';
}

位运算（二）

void dfs(int u,int state){if(u == n){for(int i=0;i<n;++i)if(state>>i &1)cout<<i+1<<" ";cout<<endl;return ;}dfs(u+1,state);dfs(u+1,state|1<<u);//将state的第u位置为1}

实现组合型枚举

DFS + 剪枝

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>using namespace std;int n,m;
int path[100000];void dfs(int stp, int k) {if(k == m){ // 检测 放的元素是否达到m个for (int i = 0; i < k; ++i)printf("%d ", path[i]);putchar('\n');}// 剪枝//选的元素个数已经超过m个了，或者即使再选上剩余的所以数也不够m个if(k >= m || (k+n-stp+1)<m)return ;if (stp > n)return ;for (int i = stp; i <= n; ++i) {path[k++] = i;dfs(i + 1, k);k -- ;}
}int  main() {scanf("%d%d", &n,&m);dfs(1, 0);return 0;
}作者：多元函数
链接：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/1963737/
来源：AcWing
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

实现排列型枚举

DFS

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
using namespace std;int n;
bool vis[10];
int path[10];void dfs(int sp){if(sp == n+1){for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",path[i]);putchar('\n');return ;}for(int i=1;i<=n;++i){if(!vis[i]){ // 用一个bool 数组记录一条路径已经使用过的值，避免重复vis[i] = 1;path[sp] = i; //因为在这里sp就是sp对应的位置应该插入一个数dfs(sp+1);vis[i] = 0; // 回溯}}
}int main(){scanf("%d",&n);memset(vis,0,sizeof(vis));dfs(1);return 0;
}

费解的开关

题目链接

难点：

枚举第一行的所有状态后如何改变原来的，思路是对于位数为1的就改变，并计数。而因为改变会改变原来的状态，所以需要用一个数组来保存下原来的状态在改变之后在恢复回来。在定完第一行后就可以递推下面的行，行是从0~4的，如果为0就改变，之后就检验最后一行是否都是1。

技巧：

对于原来是0的字符变为1，是1的变为0.可以用异或1的方法。

g[xx][yy]  ^= 1;

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
const int INF = 987654321;
using namespace std;char g[20][20];
int ans;
int dx[5] = {0,1,-1,0,0},dy[5] ={0,0,0,1,-1};void turn(int x,int y){for(int i = 0;i<5;++i){int xx = x+dx[i],yy = y+dy[i];if(xx>=0&&xx<5&&yy>=0&&yy<5){g[xx][yy]  ^= 1;}}
}int work(){for(int k=0;k<(1<<5);++k){int res = 0;char barcup[20][20];memcpy(barcup,g,sizeof g);for(int i=0;i<5;++i)if(k>>i &1){ // 位置为1表明该位置的灯变化res++; //这所以每一步都要计数turn(0,i);}for(int i =0;i<4;++i)for(int j=0;j<5;++j){if(g[i][j] == '0'){res++;turn(i+1,j);}}bool istrue = true;for(int i=0;i<5;++i)if(g[4][i] == '0'){istrue = 0;break;}if(istrue) ans = min(ans,res);memcpy(g,barcup,sizeof g);}if(ans>6)return -1;return ans;
}int  main(){int t;scanf("%d",&t);while(t--){for(int  i=0;i<5;++i)cin>>g[i];ans = INF;ans =  work();printf("%d\n",ans);}return 0;
}

奇怪的汉诺塔

原题链接

代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
using namespace std;const int INF = 98765431;
int n;
int d[100],f[200];int main(){n = 12;d[1] = 1;for(int i=2;i<=n;++i) // 递归算出三个盘子d[i] = 2*d[i-1] + 1;memset(f,0x3f,sizeof f);f[0]  = 0;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=0;j<i;++j)// f[j] 是有四个塔的时候，把前j个搭移到一个搭上。// 之后还要移动回来所以是*2// 之后把剩余的i-j个移动的时候只有3个所以是 d[i-j]f[i] = min(f[i],2*f[j]+d[i-j]);for(int i =1;i<=n;++i)printf("%d\n",f[i]);return 0;
}

分形之城

题目链接

递归+分治+数学坐标系公式+找规律
递归+分治好理解，因为这个题目中最显著的特点就是，不断地重复旋转复制，也就是NN级城市，可以由44个N−1N−1级城市构造，因此我们每次可以不断地分形N−1N−1级，将问题范围不断地缩小即可
这道题目的数学坐标公式，其实一共有两个，一个是高中的数学函数，旋转，这是一个难点，其实可以通过找规律，求解，第二公式则是欧几里得距离公式。(x1−x2)2−(y1−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√(x1−x2)2−(y1−y2)2
最难的就是如何旋转这个正方形找规律。
总的来说这道题目数学知识较多，考察画图能力，解法自然，数据毒瘤，相信可以给你的NOIP一个有利的一脚。

左上角：我们可以发现，左上角的N−1N−1级矩阵其实就是等级为N−1N−1，也就是上一个矩阵，顺时针旋转90°90°，那么既然如此的话，我们就可以综合yxc老师上课所讲的公式(补充:也就是旋转矩阵,属于大学的线性代数内容)，得出转移后的矩阵中的一点坐标从(x,y)(x,y)变为(y,x)(y,x)
左下角：同左上角，它则是逆时针旋转90°90°而且还要水平翻转，也即是沿着XX轴对称，原本逆时针后为(y,−x)(y,−x)，然后要对称,xx坐标不变，yy坐标取反，所以坐标为(−y,−x)(−y,−x) 也就是所谓的(2×len−1−y,len−1−x)(2×len−1−y,len−1−x) 最难理解的坐标，具体可以画图理解
右上角和右下角：通过N=2N=2级图发现，其实和N=1N=1是一样的，并没有旋转，只是平移，则右上角坐标为(x,y+len)(x,y+len)，右下角坐标为(x+len,y+len)(x+len,y+len)

总的来说以上四种转移，都可以通过画图理解
还有本题数据毒瘤，四舍五入最好是double类型，而且整数类型一定要是long long，否则容易WA！

题解出处：https://www.acwing.com/solution/content/814/

小技巧：
坐标(x,y) 顺时针旋转一定度数后得到的坐标公式是：
(x,y)∣cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ∣(x,y) \left| \begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{matrix} \right| (x,y)∣∣∣∣cosθ−sinθsinθcosθ∣∣∣∣

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define PLL pair<ll,ll>
PLL calc(ll n,ll m)
{if (n==0)return make_pair(0,0);ll len=1LL<<(n-1),cnt=1LL<<(2*n-2);PLL pos=calc(n-1,m%cnt);ll x=pos.first,y=pos.second;ll z=m/cnt;if (z==0)return make_pair(y,x);if (z==1)return make_pair(x,y+len);if (z==2)return make_pair(x+len,y+len);return make_pair(2*len-1-y,len-1-x);
}
int main()
{//ios::sync_with_stdio(false);int t;scanf("%d",&t);while(t--){ll n,a,b;scanf("%lld%lld%lld",&n,&a,&b);PLL x=calc(n,a-1);PLL y=calc(n,b-1);ll dx=x.first-y.first,dy=x.second-y.second;double ans=(sqrt(double(dx*dx+dy*dy))*10);printf("%0.lf\n",ans);}return 0;
}

基本算法之递推与递归的简单应用相关推荐

0x02.基本算法 — 递推与递归
目录一.递推与递归二.分治三.模拟计算机实现递归四.相应习题: 0.AcWing 92. 递归实现指数型枚举(递归/循环+位运算) 1.AcWing 93. 递归实现组合型枚举 2.AcWin ...
算法设计与分析 1 递推与递归
递推与递归 Fibonacci #include<stdio.h> #pragma warning (disabled:4996) #define MAX 100 int f[MAX];/ ...
算法总结之递推与递归
递推算法递归算法大致包括两方面的内容:1)递归起点 : 2)递归关系递推起点递归起点一般由题目或者实际情况确定,不由递归关系推出.如果无法确定递归起点,那么递归算法就无法实现.可见,递归起点是递 ...
算法设计分析之------ 递推与递归篇二
递推与递归篇二递归 Secret Cow Code S 黑白棋子的移动递推(动态规划) 覆盖墙壁递归 Secret Cow Code S 题目链接:Secret Cow Code S 解题思路 ...
递推与递归（区别）
递推与递归本文中部分内容转自他人博客,作者相关信息以及博客地址在文末. 概念递归:从已知问题的结果出发,用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件,即顺推法的逆过程,称为递归. 递归的定义:在一个函数 ...
递推和递归（C语言）
文章目录前言一.递推原理 1.递推概念 2.递推关系 3.递推特点 4.递推详例 5.解决递推问题的步骤二.递归原理 1.递归的概念 2.构成递归的条件 3.递归的模板 4.递归详例三.递推和 ...
昆虫繁殖（继续理解递推和递归）
昆虫繁殖(继续理解递推和递归) /*[题目描述] 科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫,这种昆虫的繁殖能力很强.每对成虫过x个月产y对卵,每对卵要过两个月长成成虫.假设每个成虫不死,第一个月只有一对 ...
Python 递推与递归
Python 递推与递归结论递推" :解决问题,需要推算各个数据直接的关系,并以此罗列关系. "递归" : 不是用来解决问题,而是大事化小,小到一定地步,问题迎刃 ...
斐波那契数列的递推与递归求法
斐波那契数列的递推与递归求法: OVERVIEW 斐波那契数列的递推与递归求法: (1)递推求Fibonacci: (2)递归求Fibonacci: (3)递归求Fibonacci(记忆化数组优化): ...

基本算法之递推与递归的简单应用