LeetCode Algorithm 70. 爬楼梯

Title

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶
2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

Solve

递归

递归的思路就比较简单了，但是一般第一个能想到的方法都会超时。

    def climbStairs_recursion(self, n: int) -> int:def solve(num):if num == 0:return 1if num < 0:return 0return solve(num - 1) + solve(num - 2)return solve(n)

动态规划

用f(x)表示爬到第x级台阶的方案数，考虑最后一步可能跨了一级台阶，也可能跨了两级台阶，可以列出如下式子：f(x)=f(x−1)+f(x−2)f(x)=f(x-1)+f(x-2)f(x)=f(x−1)+f(x−2)这就是动态规划的转移方程，它意味着爬到第x级台阶的方案数是爬到第x-1级和爬到第x-2级台阶方案数的总和。

下面我们来讨论边界条件，从第0级开始：f(0)=1，从第0级到第1级只有一种解决方案，即爬1级，所以f(1)=1，以这两个作为边界条件就可以继续往后推导出第n级的解决方案。

我们不妨写几项来验证一下，根据转移方程得到 f(2) = 2，f(3) = 3，f(4) = 5…我们把这些情况都枚举出来，发现计算的结果是正确的。

通过转移方程和边界条件给出一个时间复杂度和空间复杂度都是 O(n) 的实现，但是由于这里的 f(x) 只和 f(x - 1) 与 f(x - 2) 有关，所以我们可以用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。

    def climbStairs_dynamic_programming(self, n: int) -> int:f0, f1, ans = 0, 0, 1for i in range(1, n + 1):f0 = f1f1 = ansans = f0 + f1return ans

复杂度分析

时间复杂度：循环执行 n 次，每次花费常数的时间代价，故渐进时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度：这里只用了常数个变量作为辅助空间，故渐进空间复杂度为 O(1)。

矩阵快速幂

动态规划方法的时间复杂度为O(n)，只适用于n比较小的情况，在n变大之后，O(n)的时间复杂度会让这个算法看起来有些捉襟见肘，我们可以用「矩阵快速幂」的方法来优化这个过程。

首先我们可以构建这样一个递推关系：[1110][f(n)f(n−1)]=[f(n)+f(n−1)f(n)]=[f(n+1)f(n)]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} f(n)+ f(n-1) \\ f(n) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} f(n+1) \\ f(n) \end{bmatrix}[1110][f(n)f(n−1)]=[f(n)+f(n−1)f(n)]=[f(n+1)f(n)]

因此：[f(n+1)f(n)]=[1110][f(n)f(n−1)]=[1110]2[f(n−1)f(n−2)]=...=[1110]n[f(1)f(0)]\begin{bmatrix} f(n+1) \\ f(n) \end{bmatrix}= {\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}} \begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1) \end{bmatrix}={\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}^2 \begin{bmatrix} f(n-1) \\ f(n-2) \end{bmatrix}=...={\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}^n \begin{bmatrix} f(1) \\ f(0) \end{bmatrix}[f(n+1)f(n)]=[1110][f(n)f(n−1)]=[1110]2[f(n−1)f(n−2)]=...=[1110]n[f(1)f(0)]

令：M=[1110]M= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} M=[1110]因此，我们只要快速计算矩阵M的n次幂，就可以得到f(n)得值。

    def climbStairs_matrix_fast_power(self, n: int) -> int:def multiply(matrixA, matrixB):ans = []for i in range(2):ans.append([])for j in range(2):ans[i].append(matrixA[i][0] * matrixB[0][j] + matrixA[i][1] * matrixB[1][j])return ansdef solve(matrix, num):ret = [[1, 0], [0, 1]]while num > 0:if (num & 1) == 1:ret = multiply(ret, matrix)num >>= 1matrix = multiply(matrix, matrix)return retM = [[1, 1], [1, 0]]res = solve(M, n)return res[0][0]

复杂度分析

时间复杂度：同快速幂，O(log n)。
空间复杂度：O(1)。