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其实校验码就是在码距的原理上产生的，码距越大校验能力，纠错能力越强，所以奇偶校验码、海明码、CRC码究其原理都是利用一系列规则提升一段码字的码距而已。

一、循环冗余校验码

在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。
       CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记。
       循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为 N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
       校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。

几个基本概念

1、多项式与二进制数码
       多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
       多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。
       如生成多项式为  ， 可转换为二进制数码11011。
       而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为  。
2、生成多项式
       是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
       在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：
       a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
       b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。
       c、不同位发生错误时，应该使余数不同。
       d、对余数继续做模2除，应使余数循环。
将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：

N K 码距d G(x)多项式 G(x)
7 4 3 1011
7 4 3 1101
7 3 4 11101
7 3 4 10111
15 11 3 10011
15 7 5 111010001
31 26 3 100101
31 21 5 11101101001
63 57 3 1000011
63 51 5 1010000110101
1041 1024   11000000000000101

图9 常用的生成多项式

3、模2除（按位除）
       模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下：
       a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。
       b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。
       c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。

【例】1111000除以1101：

CRC码的生成步骤
       1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。
       2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R
       3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。
       4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。

【例】假设使用的生成多项式是  。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。

解：

1、将生成多项式  转换成对应的二进制除数1011。
       2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000
       3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：

                 1 0 0 1___________________|
1 0 1 1 |  1 0 1 0 0 0 0/  1 0 1 1      ——————————————————0 0 1 00 0 0 0——————————————————0 1 0 00 0 0 0——————————————————1 0 0 01 0 1 1——————————————————0 1 1  (余数，校验位)

4、编码后的报文（CRC码）：

       1 0 1 0 0 0 0+          0 1 1————————————————————1 0 1 0 0 1 1

CRC的和纠错

       在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测?字（信息位）无关。图10给出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。

收到的CRC码字 余数 出错位
1 0 1 0 0 1 1 000 无
1 0 1 0 0 1 0 001 1
1 0 1 0 0 0 1 010 2
1 0 1 0 1 1 1 100 3
1 0 1 1 0 1 1 011

4
1 0 0 0 0 1 1 110 5
1 1 1 0 0 1 1 111 6
0 0 1 0 0 1 1 101 7

图10  (7,4)CRC码的出错模式（G(x)＝1011）

如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除（补0后若最高位为1，则用除数做模2减取余；若最高位为0，则其最低3位就是余数），得到第二次余数为010。以后继续补0作模2除，依次得到余数为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数 (101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。

【例】对图10的CRC码（G(x)＝1011，C(x)＝1010），若接收端收到的码字为1010111，用G(x)＝1011做模2除得到一个不为0的余数100，说明传输有错。将此余数继续补0用G(x)＝1011作模2除，同时让码字循环左移1010111。做了4次后，得到余数为101，这时码字也循环左移4位，变成1111010。说明出错位已移到最高位A7，将最高位1取反后变成0111010。再将它循环左移3位，补足7次，出错位回到A3位，就成为一个正确的码字1010011。

其中一直好奇一个问题：为什么余数是100就是第三位出错，余数是101就是第七位出错呢。其实CRC码的出错模式是由它自己的校验码而决定的，所以应该就是发送方决定的，接收方并不知道。知道了才能纠错。这方面也没有特别固定的资料，有些书上说CRC码并不能纠错，只能重传，也有些说纠错很复杂不讨论等。但是也有比如武大考研题目就出了纠错的题，就很迷~

                     |1 0 0 1|1 0 1 1 1_______________|___________|               |
1011 |  1 0 1 0 1 1 1|/  1 0 1 1      |———————————————|———————————0 0 1 1    |0 0 0 0    |———————————————|———————————0 1 1 1  |0 0 0 0  |———————————————|———————————1 1 1 1|1 0 1 1|———————————————|———————————1 0 0|01 0 1|1———————————————|———————————0 1|1 00 0|0 0———————————————|———————————1|1 0 01|0 1 1———————————————|———————————|1 1 1 0|1 0 1 1———————————————|———————————|  1 0 1 0|

通信与网络中常用的CRC

在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r 位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝+++1 和 CRC-CCITT＝+++1。
       一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于 r的突发错以及（1-2-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2-r）的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。

【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)＝x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）

供选择的答案:

A：             ① 1111100        ② 1111101       ③ 1111110       ④ 1111111
       B：             ① 1100100       ② 1100101      ③ 1100110      ④ 1100111
       C～E：       ① 0000000       ② 0001100      ③ 0010111      ④ 0011010   ⑤ 1000110    ⑥ 1001111    ⑦ 1010001    ⑧ 1011000

解：

A：G(x)＝1101，C(x)＝1111 C(x)*23 ÷ G(x)＝1111000 ÷ 1101＝1011余111
             得到的CRC码为1111111
       B：G(x)＝1101，C(x)＝1100 C(x)*23 ÷ G(x)＝1100000 ÷ 1101＝1001余101
             得到的CRC码为1100101
       C～E：
             分别用G(x)＝1101对①~⑧作模2除:
                    ① 0000000 ÷ 1101 余000
                    ② 1111101 ÷ 1101 余001
                    ③ 0010111 ÷ 1101 余000
                    ④ 0011010 ÷ 1101 余000
                    ⑤ 1000110 ÷ 1101 余000
                    ⑥ 1001111 ÷ 1101 余100
                    ⑦ 1010001 ÷ 1101 余000
                    ⑧ 1011000 ÷ 1101 余100
       所以＿C＿、＿D＿和＿E＿的答案是② 、⑥ 、⑧。

【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即 _A_ 码。在进行编码过程中要使用 _B_ 运算。假设使用的生成多项式是 G(X)=X4+X3+X+1， 原始报文为11001010101，则编码后的报文为 _C_ 。CRC码 _D_ 的说法是正确的。
在无线电通信中常采用它规定码字长为7位．并且其中总有且仅有3个“1”。这种码的编码效率为_E_。

供选择的答案：

A：   ① 水平垂直奇偶校验           ② 循环求和                            ③ 循环冗余                           ④ 正比率
       B：   ① 模2除法                           ② 定点二进制除法                 ③ 二－十进制除法                ④ 循环移位法
       C：   ① 1100101010111              ② 110010101010011             ③ 110010101011100            ④ 110010101010101
       D：   ① 可纠正一位差错                                                             ② 可检测所有偶数位错         
                ③ 可检测所有小于校验位长度的突发错                             ④ 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错
       E：   ① 3/7                                   ② 4/7                                     ③  /                        ④ ()/7

解：从前面有关CRC的论述中可得出：

A：② 循环冗余
       B：① 模2除法
       C：G(x)＝11011，C(x)＝11001010101，C(x)*24 ÷ G(x)＝110010101010000 ÷ 11011 余0011
              得到的CRC码为② 110010101010011
       D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出：④ 可检测所有小于、等于校验位长度的突发错
       E：定比码又叫定重码，是奇偶校验的推广。在定比码中，奇数或偶数的性质保持不变，然而附加一种限制，每个字中1的总数是固定的。随用途之不同，定比码要求的附加校验位可能多于一个，但较之单一的奇偶校验将增加更多的检错能力。
       所谓7中取3定比码，就是整个码字长度为7位，其中1的位数固定为3。所有128个7位代码（0000000～1111111）中只有1的位数固定为3的才是其合法码字。可以用求组合的公式求出其合法码字数为：C73＝7!/(3!* (7-3)!)＝7*6*5/(1*2*3)＝35
       编码效率＝合法码字所需位数/码字总位数＝()/7

做题攻略：

【题1】假定要传输的数据长度为10位，对每个数据块进行CRC校验，根据CRC校验规则，要能检测并纠正一位错误，对应的CRC码的总位数为（   ）。

A. 4                                        B. 10                                      C. 13                                    D. 14

利用  来计算，k是信息位，r是校验位。选D。

【题2】设G(x)=1011，某(7,4)CRC校验码的编码序列为，假定CRC编码传输过程中最多只能发生一位错误，已知 位出错时得到的余数是001，则 位出错时接收方进行校验得到的余数是（   ）。

A. 010                                        B. 100                                      C. 011                                    D. 110

将余数（本题中是001）继续用校验码模2除的话出错位将左移。也就是001补0变成0010用1011进行模2除得到的余数将是 出错时得到的余数，所以继续进行上述操作两次，将能得到位出错时得到的余数。选C。

【题3】设计待校验的信息为8位，假定传输中最多只发生一位错误，采用CRC校验时，生成多项式的二进制位数至少需要（   ）。

A. 3                                        B. 4                                      C. 5                                    D. 6

跟第一道题类似，通过公式能算出来需要4位校验码，5位生成多项式二进制数才能得到4位余数来做校验码。选C。

【题4】设待校验的信息长度为K位，生成多项式为G(x)，下列关于CRC校验的描述中正确的是（   ）。

A. 只有一位出错时，接收端进行校验得到的余数只与出错位的位置有关，与K位信息的取值和G(x)的取值无关
       B. 只有一位出错时，接收端进行校验得到的余数与出错位位置和G(x)的取值有关，与K位信息的取值无关
       C. 只有一位出错时，接收端进行校验得到的余数与出错位位置、G(x)及K位信息的取值都有关
       D. CRC校验得到的无错结论不一定是正确的

根据上文内容本题很简单。选BD。

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