用matlab验证罗尔定理,高等数学一习题3.1答案

习题3-1

1. 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性.

解因为y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得y(x)=cot x=0.

由y(x)=cot x=0得.

因此确有, 使y(x)=cot x=0.

2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2x-2在区间[0, 1]上的正确性.

解因为y=4x3-5x2x-2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点x(0, 1), 使.

由y(x)=12x2-10x1=0得.

因此确有, 使.

3. 对函数f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性.

解因为f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上连续, 在可导, 且F(x)=1-sin x在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点, 使得

令, 即.

化简得. 易证, 所以在内有解, 即确实存在, 使得

4. 试证明对函数y=px2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.

证明因为函数y=px2qxr在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点x(a, b), 使得y(b)-y(a)=y(x)(b-a), 即

(pb2qbr)-(pa2qar)=(2pxq)(b-a).

化间上式得

p(b-a)(ba)=2px (b-a),

故.

5. 不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f (x)=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.

解由于f(x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1(1, 2), 使f (x1)=0. 同理存在x2(2, 3), 使f (x2)=0; 存在x 3(3, 4), 使f (x 3)=0. 显然x1,x2,x 3都是方程f (x)=0的根. 注意到方程f (x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f (x)=0的全部根.

6. 证明恒等式: (-1x1).

证明设f(x) arcsin xarccos x. 因为

所以f (x)C, 其中C是一常数.

因此, 即.

7. 若方程a0xn+a1xn-1+ + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程

a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0

必有一个小于x0的正根.

证明设F(x)=a0xn+a1xn-1+ + an-1x, 由于F(x)在[0, x0]上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x(0, x0), 使F (x)=0, 即方程

a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0

必有一个小于x0的正根.

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