模糊数学导论——模糊聚类分析

一、模糊矩阵的一般运算

设R、S、T是模糊矩阵，则：
1、交换律R∪S = S∪RR∩S = S∩R
2、结合律（R∪S）∪T = R∪（S∪T）（R∩S）∩T = R∩（S∩T）
3、分配率（R∪S）∩T = （R∩T）∪（S∩T）（R∩S）∪T = （R∪T）∩（S∪T）
4、幂等律R∪R = RR∩R = R
5、吸收率（R∪S）∩S = S（R∩S）∪S = S
6、复原率（R补）补 = R
7、对偶律（R∪S）补 = R补 ∩ S补（R∩S）补 = R补 ∪ S补
注：不满足补余律
8、包含于S包含于R当且仅当 Sij <= Rij，及矩阵的包含、并、交运算其实是对应元素的运算
9、自反性：当且仅当对角线元素是1时是自反的
10、对称性：当且仅当 Sij = Sji 时成立
11、传递性：S 合成 S 包含于 S 时（S ^ 2 包含于 S）成立
12、相似性：具有自反性和对称性的两个矩阵相似
13、等价：具有传递性的相似矩阵等价
14、R 的转置的转置 = R
15、R 包含于 S，R的转置 包含于 S的转置
16、（R∪S）转置 = R转置 ∪ S转置（R∩S）转置 = R转置 ∩ S转置
17、R∪R的转置 是对称的
18、若S对称，且R包含于S，则 R∪R的转置 包含于 S
19、矩阵的合成运算：Q合成R（u, v） = ∪（Q（u,v）∩ R（u,v）），类似于矩阵乘法，只不过加法乘法换成∩，加法换成∪，
交并运算完全符合模糊度的交并运算。

二、传递闭包聚类法

1、根据论域及论域的特征，得到一个横向是论域，纵向是特诊的矩阵
2、取每一列的最大值，然后将对应的一列按照 Sij / 最大值 归一化
3、用 Sij = (∑ Sik ∩ Sjk) / (∑ Sik ∪ Sjk) 将得到的矩阵转化为相似矩阵
4、对矩阵进行多次自我合成，看结果矩阵是否稳定不变，若从某项 S ^ k之后不再发生变化，
则R ^ k 就是该矩阵的传递关系闭包（等价矩阵）
6、设立一个 λ，将等价矩阵转化为 λ截矩阵
5、若得到的λ截矩阵中 Sij = Sji = 1，那么，这两个元素可以视为一类
注意：归一化和转化为相似矩阵这两步分别所用的标准不唯一，这里采用的分别是其中一种标准

三、直接聚类法

按照传递闭包的求相似矩阵的方法得到相似矩阵，然后将λ从大到小取值，每一次将等于λ的值得分
为一类，并且保留上次的分类结果，如果得到的分类结果中的类之间有交集，则将这两个类合并成
一个类。

四、最大树聚类法

按照传递闭包的求相似矩阵的方法得到相似矩阵，然后将每个节点画成一个点，之后将λ从大到小取值，
将取得的值作为带权边连接两个点，如果取得的边使得树中有环，则将这条边舍掉，等到所有顶点都
直接或者间接相连的时候停止，这时从上到下依次取λ得值，将权值大于等于这个λ的保留，其他都去掉，
有边相连的是一类

无、编网聚类法

按照传递闭包的求相似矩阵的方法得到相似矩阵，之后将右上角的元素去掉，留下下三角阵，之后将λ
从大到小依次取值，得到λ截矩阵，然后将取值为0的点空缺，将取值为1的点画成*，用横竖两条线通过*
的点，能用一张网连接起来的元素就是同一类元素。

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