离散数学-趣味题之一

这周接触了离散数学的第一章，也就是基础章节，主要是集合论、递推式、组合排列数方面的基础知识。这里含有关于递推式的一道题目。

最本来的解法是采用了递推式进行求解，但是我想到了一种组合排列数的解法。

一、原始题目：

使用多米诺骨牌，即1x2的小方格，覆盖2 x n的方格棋盘，有多少种不同的方式？

二、递推关系进行求解：

从题目而言，我们发现的递推关系是：当为n时，只考虑最右边的竖着的两个方格，如果用一个竖立的多米诺骨牌进行填充，那么此时的填充方式跟n-1时的一致，如图a所示；而如果用两个横着的多米诺骨牌填充，那么此时的填充方式数目跟n-2时的一致，如图b所示。

图a

图b

因此我们可以得到这样的递推式子，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)，也就是2-阶常系数齐次递推关系式，更准确些，该式就是斐波那契数列，但是初值时f(1)=1,f(2)=2。

我们采用2-阶常系数齐次递推关系式的通用解法，如下如所示：

图c. 2-阶常系数齐次递推关系式的通用解法

三、组合排列数解法

组合排列数解法，其中心思想就是可重排组合数，以及本题目的一个重要特性：填充的多米诺骨牌中，横着的个数一定是2的倍数，即如图所d所示。因为图e所示的情况不会出现，出现的话，将导致无法填充满这个2 x n的区域。

图d

图e，无法完全填充的情况

因此，我们可以如此进行数学说明：假设竖着排列的骨牌个数为a，横着排列的骨牌个数为b，那么如果填充满整个区域，则存在着这样的关系式a+2*(b/2)=n，即a+b=n，从容斥定理来看，这也是必然的。

因此，如果a,b确定后，问题就变成了a个竖立的和b/2个横着的骨牌如何排列组合的问题，相当与把b/2个相同的苹果，放入(a+1)个不同的盒子的问题，即是可重排组合数，其组合数为C(a+1+b/2-1,b/2)=C(a+b/2, b/2)=C(n-b/2, b/2)。

如此，我们就知道了当a,b确定后，此时的情况个数为多少了。

而另一方面，我们知道，对于任何一个n，b的情况为1+(n//2)种，那么我们可以得到f(n)如下所示：

四、验证

看起来上述的两种方法得到了完全不同的结果，但是实际上两者是完全一致的。利用两种不同的解法，我通过python验证了两者的结果，我的验证结果如下所示，combine是采用第二种解法得到的曲线，facb是采用斐波那契数列的结果，x轴表示n，y轴表示2 x n时的有多少种填充方式：

五、python代码如下所示：

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 通过斐波那契数列进行计算
def facb(n):if n == 1:return 1elif n == 2:return 2n -= 1a0 = (3*math.sqrt(5)+5)/10b0 = (3*math.sqrt(5)-5)/10a = (1+math.sqrt(5))/2b = (1-math.sqrt(5))/2return a0*math.pow(a,n)+b0*math.pow(b,n)# 阶乘函数
def factorial(num):# 查看数字是负数，0 或 正数if num < 0:print("抱歉，负数没有阶乘")return Noneelif num == 0:print("0 的阶乘为 1")return 1else:factorial = 1for i in range(1, num + 1):factorial = factorial * iprint("%d 的阶乘为 %d" % (num, factorial))return factorial# 以下是自己通过组合数进行得到的结果
def comb(n):b = [i//2 for i in range(n+1) if i%2==0]res = 0for i in b:m = n - ires += factorial(m)/(factorial(m-i)*factorial(i))return resdef test_two(n):x = np.arange(1, n + 1)yc = []yf = []for i in x:yc.append(comb(i))yf.append(facb(i))yc = np.array(yc)yf = np.array(yf)plt.xlabel('n')plt.ylabel('number')plt.plot(x, yc, "x-", label='combine')plt.plot(x, yf, "+", label='facb')for xy in zip(x, yc):plt.annotate(str(int(xy[1])), xy=xy)plt.grid()plt.legend()plt.savefig("两者的结果.jpg")plt.show()if __name__ == '__main__':test_two(10)

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