最大流问题

在给定弧赋权的有向图D=(V, A)中有两个特殊的点，一个是源点s，一个是汇点t。
我们可以将弧e上的权值理解为管道的容量，这时，从s往t的最大流量为多少的问题称为最大流问题。

最大流问题的数学定义如下。作为问题的输入，我们需要给出上述有向图D=(V, A)、顶点s与t，以及各弧的容量w(e)。
定义一个函数f，为每条弧指定一个实数值，若函数满足以下条件，则称之为流

容量限制原则：
∀弧e，f(e)≦w(e)\forall 弧e，f(e) \leqq w(e)∀弧e，f(e)≦w(e)
流量守恒原则：
对于s、t之外的任意顶点v，下式都成立
∑指向v的弧ef(e)=∑从v引出的弧ef(e)\sum_{指向v的弧e} f(e) = \sum_{从v引出的弧e} f(e)指向v的弧e∑f(e)=从v引出的弧e∑f(e)

流f的流量定义为从s流出的流量总和
∑从s引出的弧ef(e)\sum_{从s引出的弧e} f(e)从s引出的弧e∑f(e)
根据流量守恒原则，f的流量也等于流入t的流量总和
∑指向t的弧ef(e)\sum_{指向t的弧e} f(e)指向t的弧e∑f(e)
流量最大的流被称为最大流，最大流问题就是求解最大流的问题

福特-富尔克森算法

该算法最初随意选择某个流作为基础，判断是否可以增加流量。
若可以，则增加流量，并重复执行以上过程以得到最大的流。若不可以，则输出当前的流作为结果。
判断是否可以增加流量，需要引入残留网络的概念。
残留网络是为当前流f定义的一个赋权有向图（记为R）。
其顶点的集合与输入的图G相同，其弧的集合由与D中的弧方向相同和相反的两种弧构成。
设D中有弧e=(u, v)，则R中有相应的两条弧(u, v)权值为w(e)-f(e)，(v, u)权值为f(e)。这代表从u到v可以增加w(e)-f(e)的流量，从v到u可以增加f(e)的流量。
在残留网络中，从s到t的路称为增广路(augmenting path)，增广路P上权值最小的弧的权重称为该增广路的容量，记为c§。
换句话说，流f沿着增广路P，从s到t可以增加c§的流量。

福特-富尔克森算法的基本步骤如下

求出初始流f（对于所有的弧e，f(e)=0）
求出流f的残留网络R
在R中寻找增广路。找到后，则按照增广路修改流f与残留网络R；如果没找到则进入下一步
输出流f

福特-富尔克森算法的有效性等同于下面这个命题

流f为最大流的充分必要条件是，流f的残留网络中没有增广路

必要性是显然的，下面用证明充分性

假设残留网络R中不存在增广路。将R中s出发可以到达的顶点的集合记为X（包含s本身），显然t不在X中。
首先，在输入的图D中，存在一条弧(u, v)，使得u∈Xu \in Xu∈X且v∉Xv \notin Xv∈/X，即从X内的点指向X外的点。根据X的定义，R中不存在弧(u, v)，因此弧(u, v)的容量被全部用完了。
其次，在输入的图D中，存在一条弧(u, v)，使得u∉Xu \notin Xu∈/X且v∈Xv \in Xv∈X，即从X外的点指向X内的点。根据X的定义，R中不存在弧(v, u)，因此弧(u, v)的容量完全没有被使用。
因此从X输出的流量到了最大值，因此，f就是s到t的最大流。

下面给出python实现，存储在我的github公共库中

from copy import deepcopydef dfs_audmenting_path(residual_net, s, t):# 使用深度优先搜索寻找增广路stack = [s]visited = []path = dict()found = Falsewhile stack and not found:point = stack.pop()visited.append(point)for vertex in residual_net.ad_list(point):if vertex not in visited:if vertex not in stack:stack.append(vertex)path[vertex] = pointif vertex == t:path[t] = pointfound = Trueif found:road = []point = troad.append(t)while point != s:point = path[point]road.append(point)return road[::-1]return Falsedef update(road, residual_net, max_flow, flow_capacity):bound = len(road) - 1min_weight = min(residual_net.get_weight((road[i], road[i + 1])) for i in range(bound))  # 找到增广路上的最小容量，这是要增加的容量flow_capacity += min_weightfor i in range(bound):# 修改残留网络与最大流草图edge = (road[i], road[i + 1])reversed_edge = (road[i + 1], road[i])weight = residual_net.get_weight(edge)if weight == min_weight:# 在残留网络中，如果权在修改后为零，则删除此弧residual_net.remove_edge(edge)else:residual_net.weights[edge] -= min_weightif reversed_edge in residual_net.edges:# 修改反向的弧residual_net.weights[reversed_edge] += min_weightelse:residual_net.add_edge(reversed_edge)residual_net.add_weight({reversed_edge: min_weight})if edge in max_flow.edges:# 修改最大流草图max_flow.weights[edge] += min_weightelse:max_flow.weights[edge] -= min_weightdef ford_fulkerson(G, s, t):"""输入：G，有向正权图；s，源点；t，汇点输出：max_flow，有向正权图，最大流"""max_flow = deepcopy(G)  # 最大流草图flow_capacity = 0for edge in max_flow.edges:# 目前的最大流为零max_flow.weights[edge] = 0residual_net = deepcopy(G)  # 残留网络road = dfs_audmenting_path(residual_net, s, t)  # 寻找增广路while road:# 寻找增广路，并修改残留网络与最大流草图，直到找不到位置update(road, residual_net, max_flow, flow_capacity)road = dfs_audmenting_path(residual_net, s, t)return max_flow, flow_capacity

最大流最小割定理

将图D=(V, A)作为最大流问题的输入。为将包含s但不包含t的顶点的子集，即满足Y⊂V,s∈Y,t∉YY \subset V, s \in Y, t \notin YY⊂V,s∈Y,t∈/Y的集合Y称为D的割。
若弧(u,v)∈A(u, v) \in A(u,v)∈A满足u∈Yu \in Yu∈Y及v∈V−Yv \in V-Yv∈V−Y，则称为Y的割边。
割Y的容量是指Y的割边的权值总和。

最大流最小个定理即

对于任意的图都有最大流的流量等于最小割容量对于任意的图都有最大流的流量等于最小割容量对于任意的图都有最大流的流量等于最小割容量