在数学中，同伦（Homotopy）的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。
两个拓扑空间如果可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么就称这两个拓扑空间同伦。

同伦等价的概念

f,g:X→Y给定的两个拓扑空间X和Y。考虑两个连续函数，若存在一个连续映射H：X×【0，1】→Y使得f,g:X\rightarrow Y给定的两个拓扑空间X和Y。考虑两个连续函数，若存在一个连续映射H：X×【0，1】 \rightarrow Y使得f,g:X→Y给定的两个拓扑空间X和Y。考虑两个连续函数，若存在一个连续映射H：X×【0，1】→Y使得
∀x∈X,H(x,0)=f(x),∀x∈X,H(x,1)=g(x).\forall x\in X,H(x,0)=f(x),\\\forall x\in X,H(x,1)=g(x).∀x∈X,H(x,0)=f(x),∀x∈X,H(x,1)=g(x).
则称f,g(在Y里)同伦。则称f,g(在Y里)同伦。则称f,g(在Y里)同伦。

在所有的X到Y的映射组成的集合X^Y中，同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系，

https://www.knowpia.cn/pages/%E5%90%8C%E5%80%AB%E7%AD%89%E5%83%B9
等价关系就能做商集合，Y^X/~ : X到Y 的映射的同伦类集记为[X,Y]，

两个空间之间的映射有几个同伦的等价类

问:对于两个给定的空间，有几个同轮等价类？
[Sn,Sn]=Z[S3,S2]=Z[S4,S3]=Z/2(只有两个元素)[S^n, S^n]=Z\\ [S^3, S^2]=Z\\ [S^4, S^3]=Z/2(只有两个元素)[Sn,Sn]=Z[S3,S2]=Z[S4,S3]=Z/2(只有两个元素)
但是低维到高维只有一个元素常值映射因为总是映不满的

（ps：同轮类之间还能定义运算）

… . -…- … -. … - .- -. -.-. . -…- — …-. -…- .---- …- -…- – … -.
例1：
设X是拓扑空间,Sn为n维球面，映射f,g:X→Sns.t.∀x∈X,f(x)≠−g(x)则f∼g(对径点变换的路径就不确定了，不好定义了)设X是拓扑空间,S^n为n维球面，映射f,g:X\rightarrow S^n \\s.t. \forall x\in X,f(x)\neq -g(x)\\则f \sim g(对径点变换的路径就不确定了，不好定义了)设X是拓扑空间,Sn为n维球面，映射f,g:X→Sns.t.∀x∈X,f(x)=−g(x)则f∼g(对径点变换的路径就不确定了，不好定义了)

如果X到S^n的映射不满，则它一定等价与常值映射C_x
如果映到球面不满，则至少球面有一个孔，球就“爆了”
比如说−x0点映不到，∀x∈X,f(x)≠−x0比如说-x_0点映不到，\forall x\in X,f(x)\neq -x_0比如说−x0点映不到，∀x∈X,f(x)=−x0

考虑映射Cx0:X→S∀x∈X，Cx0(x)=x0考虑映射C_{x_0}:X\rightarrow S \forall x\in X，C_{x_0}(x)={x_0}考虑映射Cx0:X→S∀x∈X，Cx0(x)=x0
满足f(x)≠Cx0(x)满足f(x)\neq C_{x_0}(x)满足f(x)=Cx0(x)
所以f∼Cx0所以f\sim C_{x_0}所以f∼Cx0

空间偶：

拓扑空间X和其子空间A,记为(X,A)，是一个空间偶

空间偶之间的映射：

如果一个连续映射f:X→Y还满足f(A)⊂B,即限制在A上时可以认为f:A→B,那么我们也称这是一个空间偶之间的映射，记为f:(X,A)→(Y,B).如果一个连续映射f : X→Y还满足f(A)\subset B,\\ 即限制在A上时可以认为f: A→B,\\那么我们也称这是一个空间偶之间的映射，记为f :(X,A)→(Y,B) . 如果一个连续映射f:X→Y还满足f(A)⊂B,即限制在A上时可以认为f:A→B,那么我们也称这是一个空间偶之间的映射，记为f:(X,A)→(Y,B).

对f,g:(X,A)→(Y,B)如果存在F：X×I→Ys.t.对f,g:(X,A)→(Y,B)如果存在F：X×I\rightarrow Y s.t.对f,g:(X,A)→(Y,B)如果存在F：X×I→Ys.t.
F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x).F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x).F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x).
且对任意a∈A,t∈I有F(a,t)∈B,则称空间偶的映射f与g同伦等价记为f≃g(X,A)→(Y,B)且对任意a\in A,t\in I有F(a,t)\in B,则称空间偶的映射f与g同伦等价\\记为f\simeq g(X,A)→(Y,B)且对任意a∈A,t∈I有F(a,t)∈B,则称空间偶的映射f与g同伦等价记为f≃g(X,A)→(Y,B)

… … -…- -…- .---- … -…- – … -.
特别地，A={x_0},B={y_0},称X,Y为带有基点的空间。

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