离散采样——Alias Method

1.Alias算法的归一化是对每个事件概率乘以事件总数

2.Alias算法核心是把所有事件拉成1*N长方形，N代表事件总数

3.算法实现的关键步骤是找到面积小于1的列，再找大于1的列进行填充

我们介绍一种时间复杂度O(1)的采样算法——Alias Mehtod。话不多说，直接进入正题。

算法原理

用一个例子加以说明Alias的算法原理。下面是四个事件发生的概率分布：

事件	A	B	C	D
概率	1/2	1/3	1/12	1/12

要生成服从该分布的随机事件。

首先，将概率用列的高度表示，行是事件总量的均分：

做归一化，每一列事件的概率乘以事件总数（p*N）：

然后拉成1*N的长方形，保证每一列最多只允许两个事件存在：

这个1*N的长方形称为Alias Table，存储两个数组：

Prab数组：第i列对应的事件i在该列的面积占比
Alias数组：第i列不是事件i的另外一个事件标号

比如上图的Prab=【2/3，1，1/3，1/3】，Alias=【2,0,1,1】。

然后采样的时候生成两个随机数——第一个产生1~N之间的整数i，决定落在哪一列；第二个产生服从均匀分布0~1的任意数，判断其与Prab【i】的大小，如果小于Prab【i】，则采样i，否则采样Alias【i】

算法实现

利用程序很容易实现Alias算法，其步骤是：

算法核心就是步骤3和4，不断循环即可。

我们用python实现这个过程：

def Alias(Prob_li):''':param Prob_li: 事件对应的概率列表，索引代表事件:return: 返回Prab和Alias列表'''M = len(Prob_li)S = [M*i for i in Prob_li]Prab_table = [1 for i in range(M)]Alias_table = [0 for i in range(M)]while True:for i, s1 in enumerate(S):if s1 < 1:Prab_table[i] = s1s0 = 1 - s1for j, s2 in enumerate(S):if s2 != 1 and s2 > s0 and i != j:Alias_table[i] = j+1S[i] = 1S[j] = s2 - s0breakbreake = 1 - min(S)if e < 0.000001:breakreturn Prab_table, Alias_table

看看上面例子出来的结果：

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