计算机数据表示和运算

进制转换
1.1 十进制与r进制的转换：
十进制转r进制，整数部分使用除r取余法，即每次将整数部分除以r，余数为该位权上的数，而商继续除以r，余数又为上一个位权上的数，这个步骤一直持续下去，直到商为0为止，最后读数时候，从最后一个余数读起，一直到最前面的一个余数；小数部分使用乘r取整法，从开始的整数向后读起。

r进制转十进制，整数部分，r进制数从低位到高位（即从右往左）计算，第0位的权值是r的0次方，第1位的权值是r的1次方，第2位的权值是r的2次方，依次递增下去，把最后的结果相加的值就是十进制的值了;小数部分，从左向右，小数点后第一位的权值是r的-1次方，第二位的权值是r的-2次方，以此类推，把最后的结果相加即可。

1.2 二进制与八进制、十六进制互相转换

二进制转八进制：取三合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每三位取成一位，接着将这三位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的八进制数。如果向左（向右）取三位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足三位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足三位。

八进制转二进制则相反。

二进制转十六进制：取四合一法，即从二进制的小数点为分界点，向左（向右）每四位取成一位，接着将这四位二进制按权相加，然后，按顺序进行排列，小数点的位置不变，得到的数字就是我们所求的十六进制数。如果向左（向右）取四位后，取到最高（最低）位时候，如果无法凑足四位，可以在小数点最左边（最右边），即整数的最高位（最低位）添0，凑足四位

十六进制转2进制相反。

2. 运算（二进制）
加法：
0+0=0 1+0=1 0+1=0 1+1=10（进位）
减法：
0-0=0 1-0=1 10-1=1（借位） 1-1=0
乘法：
0×0=0 1×0=0 0×1=0 1×1=1
除法：
0÷0=0（在二进制成立） 0÷1=0 1÷0=0（无意义） 1÷1=1
3. 机器数与码制
机器数是数据在计算机内的表示，为二进制。对于有符号数，最高位为符号位，0代表+，1代表-，其余位的数代表数的真值。
为了便于计算带符号的机器数可采用原码、反码、补码等不同编码方式。
1）原码
字长为n的数，在符号位上用"0"表示正数；用"1"表示负数。数值位表示真值的绝对值。凡不足n-1位的，小数在最低位右边加零；整数则在最高位左边加零以补足n-1位。这种计算机的编码形式叫做原码。0的原码[+0]=[00000000]原,[-0]=[10000000]原
记作X=[X]原。例如在字长n=8的机器内：
小数： [+0.1011]原=0.1011000
[-0.1011]原=1.1011000
整数： [+1011]原=00001011
[-1011]原=10001011
代码中的小数点”.”是在书写时为了清晰起见加上去的，在机器中并不出现
原码的符号位不能直接参与运算，必须和其他位分开。
2）反码
反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.。0的反码[+0]=[00000000]反，[-0]=[11111111]反
3）补码
补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

4）移码
移码（又叫增码或偏置码）通常用于表示浮点数的阶码，其表示形式与补码相似，只是其符号位用“1”表示正数，用“0”表示负数，数值部分与补码相同。机器数字长为n，偏移量为2^(n-1),则移码与补码的联系是符号位相反，其他相同。

定点数和浮点数
所谓定点数，就是小数点固定不变。一般形式有两种，定点整数（纯整数）和定点小数（纯小数）
定点数的表示范围较小，在字长为n时，定点数的补码和移码只能表示2^n
个数,原码和反码表示2^n-1个数。
浮点数是小数点不固定的形式。浮点数的表示格式如下：

bcd码
ASCII码
常见ASCII码
0-9：0110000（48）-0111001（57）
A-Z：1000001（65）-1011010（90）
a-z：1100001（97）-1111010（122）
校验码
校验码是为了防止数据穿输出错设置的。
码距，指一个编码系统中任意两个合法编码间至少有多少个二进制编码不同。
三种不同的校验码：奇偶偶校验码、海明码、循环冗余校验码。
奇偶校验码：奇偶校验码是一种增加二进制传输系统最小距离的简单和广泛采用的方法。是一种通过增加冗余位使得码字中"1"的个数恒为奇数或偶数的编码方法，它是一种检错码。在实际使用时又可分为垂直奇偶校验、水平奇偶校验和水平垂直奇偶校验等几种。

海明码：汉明码（Hamming Code），是在电信领域的一种线性调试码，以发明者理查德·卫斯里·汉明的名字命名。汉明码在传输的消息流中插入验证码，当计算机存储或移动数据时，可能会产生数据位错误，以侦测并更正单一比特错误。由于汉明编码简单，它们被广泛应用于内存（RAM）。
下列通用算法可以为任意位数字产生一个可以纠错一位的汉明码：
1.从1开始给数字的数据位（从左向右）标上序号, 1，2，3，4，5…
2.将这些数据位的位置序号转换为二进制，1, 10, 11, 100, 101,等。
3.数据位的位置序号中所有为二的幂次方的位（编号1，2，4，8，等，即数据位位置序号的二进制表示中只有一个1）是校验位
4.所有其它位置的数据位（数据位位置序号的二进制表示中至少2个是1）是数据位
5.每一位的数据包含在特定的两个或两个以上的校验位中，这些校验位取决于这些数据位的位置数值的二进制表示
(1) 校验位1覆盖了所有数据位位置序号的二进制表示倒数第一位是1的数据：1（校验位自身，这里都是二进制，下同），11，101，111，1001，等
(2) 校验位2覆盖了所有数据位位置序号的二进制表示倒数第二位是1的数据：10（校验位自身），11，110，111，1010，1011，等
(3) 校验位4覆盖了所有数据位位置序号的二进制表示倒数第三位是1的数据：100（校验位自身），101，110，111，1100，1101，1110，1111，等
(4) 校验位8覆盖了所有数据位位置序号的二进制表示倒数第四位是1的数据：1000（校验位自身），1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111，等
(5) 简而言之，所有校验位覆盖了数据位置和该校验位位置的二进制与的值不为0的数。
观察上表可发现一个比较直观的规律：第i个检验位是第2^{(i-1)位，从该位开始，检验2}(i-1)位，跳过2^(i-1)位……依次类推。例如上表中第3个检验位p4从第23-1=4位开始，检验4、5、6、7共4位，然后跳过8、9、10、11共4位，再检验12、13、14、15共4位
循环冗余校验码：循环冗余校验码（CRC），简称循环码，是一种常用的、具有检错、纠错能力的校验码，在早期的通信中运用广泛。循环冗余校验码常用于外存储器和计算机同步通信的数据校验。奇偶校验码和海明校验码都是采用奇偶检测为手段检错和纠错的(奇偶校验码不具有纠错能力)，而循环冗余校验则是通过某种数学运算来建立数据位和校验位的约定关系的

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