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2. 数据表示和运算

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2.1 数据与编码

2.1.1 进制转换

2.1.2 校验码

2.2 定点数的表示和运算

2.2.1 表示

• 寄存器的位数反映无符号数的表示范围

一. 有符号数

• 真值：带符号的数
• 机器数：符号数字化的数

没有专门的硬件用于存储小数点，其都是以约定俗成的方式存在

1) 原码表示法

• 整数定义

  

• 小数定义

  

正数的原码符号位为0；数值位为其真值
负数的原码符号位为1；数值位为其真值

• 原码的特点
  1. 简单直观
  2. 但是用原码做加法时，会出现以下问题：

2) 补码表示法

• 整数定义

• 小数定义

  

正数的补码符号位为0；数值位为其真值
负数的补码符号位为1；数值位为其真值对应位求反后末位加1

3) 反码表示法

• 整数定义

• 小数定义

  

正数的补码符号位为0；数值位为其真值
负数的补码符号位为1；数值位为其真值对应位求反

三种机器数的小结

• 最高位为符号位，书写上~~用“，”（整数）~~或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开

• 对于正数，原码=补码=反码

• 对于负数，符号位为1，其数值部分原码除符号位外每位按位取反末尾加1→补码 不加一→反码

• 表示范围

  

tips：[y]补 连同符号在内，每位取反，末位加1，即得[-y]补

---

二. 数的定点表示和浮点表示

定点表示

• 定义：小数点按约定方式标出

浮点表示

• 浮点数的一般形式：N=S×r的j次方

在计算机中，S是小数、可正可负；j是整数、可正可负

• 表示范围

  

浮点数的存储格式

浮点数（Floating-point Number）是对实数的一种近似表示，由一个有效数字（即尾数）加上幂数来表示，通常是乘以某个基数的整数次幂得到。以这种表示法表示的数值，称为浮点数。表示方法类似于基数为10的科学计数法。利用浮点进行运算，称为浮点计算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。

计算机对浮点数的表示规范遵循电气和电子工程师协会（IEEE）推出的 IEEE754 标准，浮点数在 C/C++ 中对应 float 和 double 类型，我们有必要知道浮点数在计算机中实际存储的内容。

IEEE754 标准中规定 float 单精度浮点数在机器中表示用 1 位表示数字的符号，用 8 位表示指数，用 23 位表示尾数，即小数部分。对于 double 双精度浮点数，用 1 位表示符号，用 11 位表示指数，52 位表示尾数，其中指数域称为阶码。IEEE754 浮点数的格式如下图所示。

注意，IEE754 规定浮点数阶码 E 采用"指数ｅ的移码-1"来表示，请记住这一点。为什么指数移码要减去 1，这是 IEEE754 对阶码的特殊要求，以满足特殊情况，比如对正无穷的表示。

移码

移码（又叫增码）是对真值补码的符号位取反，一般用作浮点数的阶码，引入的目的是便于浮点数运算时的对阶操作。

对于定点整数，计算机一般采用补码的来存储。正整数的符号位为 0，反码和补码等同于原码。负整数符号位为1，原码、反码和补码的表示都不相同，由原码变成反码和补码有如下规则：
（1）原码符号位为1不变，整数的每一位二进制数位求反得反码；
（2）反码符号位为1不变，反码数值位最低位加1得补码。

比如，以一个字节 8bits 来表示 -3，那么[ − 3 ] 原 = 10000011 [-3]_原=10000011[−3]原=10000011，[ − 3 ] 反 = 11111100 [-3]_反=11111100[−3]反=11111100，[ − 3 ] 补 = 11111101 [-3]_补=11111101[−3]补=11111101，那么 -3 的移码就是[ − 3 ] 移 = 01111101 [-3]_移=01111101[−3]移=01111101。

如何将移码转换为真值 -3 呢？先将移码转换为补码，再求值。

浮点数的规格化

若不对浮点数的表示作出明确的规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如( 1.75 ) 10 (1.75)_{10}(1.75)10可以表示成1.11 × 2 0 1.11\times 2^01.11×20，0.111 × 2 1 0.111\times2^10.111×21，0.0111 × 2 2 0.0111\times2^20.0111×22等多种形式。当尾数不为0时，尾数域的最高有效位为1，这称为浮点数的规格化。否则，以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法，使其成为规格化数的形式。

单精度浮点数真值

IEEE754 标准中，一个规格化的 32 位浮点数 x 的真值表示为：
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)^{S\times(1.M)\times2}ex=(−1)S×(1.M)×2e
e = E − 127 e=E-127e=E−127
其中尾数域值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最左位总是1，故这一位不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。

在计算指数 e 时，对阶码E的计算采用原码的计算方式，因此 32 位浮点数的 8bits 的阶码 E 的取值范围是 0 到 255。其中当E为全 0 或者全 1 时，是 IEEE754 规定的特殊情况，下文会另外说明。

双精度浮点数真值

64 位的浮点数中符号为 1 位，阶码域为 11 位，尾数域为 52 位，指数偏移值是 1023。因此规格化的 64 位浮点数 x 的真值是：
x = ( − 1 ) S × ( 1. M ) × 2 e x=(-1)^{S\times(1.M)\times2}ex=(−1)S×(1.M)×2e
e = E − 1023 e=E-1023e=E−1023

• float单精度浮点数（4个字节，32位）在机器中表示：用1位表示数字的符号（正负号），8位表示指数，23位表示尾数（即小数部分）
• double双精度浮点数（8个字节，64位）：1位表示符号（正负号），11位表示指数，52位表示尾数

浮点数阶码E用**“指数e的移码-1”表示，还可以用阶码E的移码（特殊的移码）+阶码E的真值（即指数）**表示。

阶码的移码：假设阶码用8个二进制位表示，则该阶码的移码为 2(n-1) ，但注意这里的移码是特殊的移码，仅偏移2(n-1)-1=127 。

2.2.2 加法运算

2.2.3 补码加减运算

2.2.4 定点数的乘除运算

一. 原码乘法

• 符号位与数值位分开求，乘积符号由两个数的符号位“异或”形成，而乘积的数值部分则是两个数的绝对值相乘之和。

1. 题目

2) 步骤一

• 被乘数 x 和乘数 y 均取绝对值参加运算
• 符号位为$ x_s ⊕ y_s $

3) 步骤二

• 累加寄存器（ACC）取 n+1 位（包含一位符号位，以便右移，故最终结果中ACC的第一位是符号位），初始化为0
• 乘商寄存器（MQ）取 n 位（不含符号位），初始化为 |y| 的数值部分

4) 步骤三

• 从乘数的最低位开始判断，若 =1，则部分积加上被乘数|x|，然后右移一位；若=0，则部分积加上0，然后右移一位，由于是无符号数，故移位采用逻辑右移
• 重复以上步骤，判断N次。

5) 步骤四

• ACC中的第2_{5位和MQ中的第1}4位为乘积的数值部分

由步骤1可知，符号为 -，故乘积为 -0.10001111

二. 补位乘法介绍

1) 题目

2) 步骤一

• 符号位参与运算，运算的数均以补码表示，被乘数 x 取双符号位，乘数 y 取单符号位
• 计算被乘数 x 的负数的补码

3) 步骤二

• 累加寄存器（ACC）取 n+2 位（取双符号位，以便进行溢出检查，故最终结果中ACC的前两位是符号位），对应 [x]补 和 [-x]补 ，初始化为0
• 乘商寄存器（MQ）初始化为 [y]补（取单符号位），末尾增设附加位（数值为0），共n+2位

4) 步骤三

• 根据y的次低位和最低位的取值确定操作（如下表），由于是有符号数，故移位采用补码的算术右移
• 重复上述步骤，判断N+1次，但第N+1次不再移位（共进行N+1次累加和N次右移）

5) 步骤四

ACC和MQ的前10位为乘积（前2位为符号），故|XY|补=11.01110001，XY=-0.10001111

题目

设机器字长为5，x=−0.1101,y=0.1011,采用booth移位原则求x⋅y解答[x]补=11.0011，[−x]补=00.1101，[y]补=0.1011乘数0.1011,y4为低部分积最后一位，y5为丢失位第一位设机器字长为5，x=-0.1101,y=0.1011 ,采用booth 移位原则求x\cdot y\\ 解答[x]_补=11.0011，[-x]_补=00.1101，[y]_补=0.1011\\ 乘数0.1011 ,y_4为低部分积最后一位，y_5为丢失位第一位 设机器字长为5，x=−0.1101,y=0.1011,采用booth移位原则求x⋅y解答[x]补​=11.0011，[−x]补​=00.1101，[y]补​=0.1011乘数0.1011,y4​为低部分积最后一位，y5​为丢失位第一位

解答过程

情况说明	操作	高部分积	低部分积(最后一位为y_n)	丢失位(第一位为y_n+1)
初始值为0初始值为0初始值为0		00.000000.000000.0000	0.10110.101\textcolor{red}10.1011	0\textcolor{red}00	y4=1.y5=0,加[−x]补,右移y_4=1.y_5=0,加[-x]_补,右移y4​=1.y5​=0,加[−x]补​,右移
加[−x]补加[-x]_补加[−x]补​	00.0000+00.110100.0000\\ +\\00.110100.0000+00.1101	=00.1101=00.1101=00.1101 加法后的结果	0.10110.10110.1011	000
右移右移右移		00.011000.011000.0110	10.10110.10\textcolor{red}110.101 右移了	10\textcolor{red}1010 右移	y4=1,y5=1,右移y_4=1,y_5=1,右移y4​=1,y5​=1,右移
右移右移右移		00.001100.001100.0011	010.10010.1\textcolor{red}0010.10 右移	110\textcolor{red}110110 右移了，	y4=0,y5=1,加[x]补，右移y_4=0,y_5=1,加[x]_补，右移y4​=0,y5​=1,加[x]补​，右移
加[x]补加[x]_补加[x]补​	00.0011+11.001100.0011\\ +\\11.001100.0011+11.0011	=11.0110=11.0110=11.0110 加法后的结果	010.10010.10010.10	110110110
右移		11.101111.101111.1011	0010.10010.\textcolor{red}10010.1	0110\textcolor{red}01100110 右移了	y4=1,y5=0。加[−x]补，右移y_4=1,y_5=0。加[-x]_补，右移y4​=1,y5​=0。加[−x]补​，右移
加[−x]补加[-x]_补加[−x]补​	11.1011+00.110111.1011\\ +\\ 00.110111.1011+00.1101	00.100000.100000.1000	0010.10010.10010.1	011001100110

区别

三. 除法

2.2.5 溢出概念的判别方法

2.3 浮点数的表示和运算

2.3.1 表示

2.3.2 浮点数的加减运算

2.4 ALU

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