斐波那契数列与黄金分割比以及矩阵形式推导

数学上，斐波那契数列以递归的形式进行定义：

F 0 =0F 1 =1F n =F n−1 +F n−2

\begin{split} &F_0=0\\ &F_1=1\\ &F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \end{split}

注意，递归的形式实现较为简单明了，当然在编程实践时，并不推荐递归的实现方式，因为存在大量的重复计算，斐波那契的优化实现不是本文的重点，如有兴趣，请参阅每周一刷——从斐波那契数列到动态规划，本文重点探讨菲波那切数列与黄金分割比的关系。

维基百科中说菲波那切数列又叫黄金分割数列，这无疑是在告诉我们我们可以通过黄金分割的方式（5 √ −12 \frac{\sqrt{5}-1}2）生成出来一个菲波那切数列。

下面我们简单验证我们的判断：

def fib(n):return n if n <= 1 else fib(n-1)+fib(n-2)
N = 20
print([fib(n) for n in range(N)])[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181]

所谓黄金分割比，一种猜想：F n =F n−1 (1+5 √ −12 ) F_n=F_{n-1}(1+\frac{\sqrt 5-1}2)：

int(55*(1+.618)+.5) == 89
int(2584*(1+.618)+.5) == 4181

indeed，诚哉斯言。

我们接着做如下的仿真：

def gold_fib(n):return n if n <=2 else int(gold_fib(n-1)*(1+.618))
print([gold_fib(n) for n in range(N)])[0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182]# 已经非常接近了，

矩阵形式推导

还是从定义出发：

a 0 =0a 1 =1a n =a n−1 +a n−2

\begin{split} &a_0=0\\ &a_1=1\\ &a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \end{split}
将其转换为矩阵形式：

(F n+2 F n+1 )=(1,1, 10 )⋅(F n+1 F n )

\begin{pmatrix} F_{n+2}\\ F_{n+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,&1\\ 1,&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_{n} \end{pmatrix}
无所不在的矩阵形式呀，这是矩阵形式的递归版（是不是可以说，递归形式都可转化为 矩阵的连乘版）；

(F n+1 F n )=(1,1, 10 ) n (10 )

\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,&1\\ 1,&0 \end{pmatrix}^{n}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}
或者全部使用矩阵形式：

(F n+1 ,F n , F n F n−1 )=(1,1, 10 ) n

\begin{pmatrix} F_{n+1},&F_n\\ F_n,&F_{n-1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1, &1\\ 1,&0 \end{pmatrix}^n
求下述矩阵的特征值：

(1,1, 10 )

\begin{pmatrix} 1, &1 \\ 1,&0 \end{pmatrix}
λ(λ−1)−1=0 \lambda (\lambda -1)-1=0，解得 λ 1 =1+5 √ 2 ,λ 2 =1−5 √ 2 \lambda_1 =\frac{1+\sqrt 5}2,\lambda_2=\frac{1-\sqrt 5}2
求得各自特征值对应的特征向量为：

α ⃗ 1 =⎛ ⎝ 12 (1+5 √ )1 ⎞ ⎠ α ⃗ 2 =⎛ ⎝ 12 (1−5 √ )1 ⎞ ⎠

\vec \alpha_1=\begin{pmatrix} \frac12(1+\sqrt 5)\\ 1 \end{pmatrix}\\ \vec \alpha_2=\begin{pmatrix} \frac12(1-\sqrt 5)\\ 1 \end{pmatrix}
通过 α ⃗ 1 ,α ⃗ 2 \vec \alpha_1, \vec \alpha_2对 [1,0] T [1, 0]^T线性表示为：

(10 )=15 √ α ⃗ 1 +(−15 √ )α ⃗ 2

\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}=\frac1{\sqrt 5}\vec \alpha_1+(-\frac1{\sqrt 5})\vec \alpha_2
所以：

(F n+1 F n )====== (1,1, 10 ) n (10 )(1,1, 10 ) n (a 1 α ⃗ 1 +a 2 α ⃗ 2 )a 1 (1,1, 10 ) n α ⃗ 1 +a 2 (1,1, 10 ) n α ⃗ 2 a 1 λ n 1 α ⃗ 1 +a 2 λ n 2 α ⃗ 2 15 √ (1+5 √ 2 ) n ⎛ ⎝ 1+5 √ 2 1 ⎞ ⎠ +(−15 √ )(1−5 √ 2 ) n ⎛ ⎝ 1−5 √ 2 1 ⎞ ⎠ 15 √ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ (1+5 √ 2 ) n+1 −(1−5 √ 2 ) n+1 (1+5 √ 2 ) n −(1−5 √ 2 ) n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟

\begin{split} \begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n \end{pmatrix}=& \begin{pmatrix} 1,&1\\ 1,&0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix} 1,&1\\ 1,&0 \end{pmatrix}^n(a_1\vec \alpha_1+a_2\vec \alpha_2)\\ =&a_1\begin{pmatrix} 1,&1\\ 1,&0 \end{pmatrix}^n\vec \alpha_1+a_2\begin{pmatrix} 1,&1\\ 1,&0 \end{pmatrix}^n\vec \alpha_2\\ =&a_1\lambda_1^n\vec \alpha_1+a_2\lambda_2^n\vec \alpha_2\\ =&\frac1{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}2)^n\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt5}2\\ 1 \end{pmatrix}+(-\frac1{\sqrt 5})(\frac{1-\sqrt 5}2)^n\begin{pmatrix} \frac{1-\sqrt5}2\\ 1 \end{pmatrix}\\ =&\frac1{\sqrt 5}\begin{pmatrix} (\frac{1+\sqrt 5}2)^{n+1}-(\frac{1-\sqrt 5}2)^{n+1}\\ (\frac{1+\sqrt 5}2)^{n}-(\frac{1-\sqrt 5}2)^{n} \end{pmatrix} \end{split}
所以最终：

F n =15 √ [(1+5 √ 2 ) n −(1−5 √ 2 ) n ]

F_n=\frac1{\sqrt 5}\begin{bmatrix}(\frac{1+\sqrt5}2)^n-(\frac{1-\sqrt5}2)^n\end{bmatrix}

通过初等代数方法，我们也可得出此解析解的形式，具体请参考斐波那契数列；

def matrix_fib(n):return int(1/sqrt(5)*(((1+sqrt(5))/2)**n-((1-sqrt(5))/2)**n))print([matrix_fib(n) for n in range(N)])[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181]    # 一模一样，不差分毫

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