机器学习基础（三十八） —— 从几率到逻辑斯函数

odds 几率，又称事件的优势比。几率和概率的关系如下：

o=p1−pp=o1+o

o=\frac p{1-p}\\ p=\frac o{1+o}

Logistic 回归模型的因变量只有 1/0 两种取值。假设在 pp 个独立自变量 x1,x2,…,xpx_1,x_2,\ldots,x_p 作用下，记 yy 取 1 的概率 p=P(y=1|x)p=P(y=1|\mathbf x)，取 0 的概率是 1−p1-p：

P(y=0|x)=1−P(y=1|x)

P(y=0|\mathbf x)=1-P(y=1|\mathbf x)

取 1 和取 0 的概率之比为 p1−p\frac p{1-p}，称为事件的优势比（odds），对 odds 取自然对数记得 Logistic 变换：

Logbit(p)=lnp1−p

\text{Logbit}(p)=\ln\frac p{1-p}
令 lnp1−p=z\ln \frac p{1-p}=z，则

p=11+e−z

p=\frac1{1+e^{-z}}

即为 Logistic 函数。

pp 在 (0, 1) 之间变化时，

odds 的取值范围：(0,+∞)(0, +\infty)
- lnp1−p\ln \frac p{1-p} 的取值范围为：(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)

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