[luogu P4197] Peaks 解题报告(在线:kruskal重构树+主席树 离线:主席树+线段树合并)...
题目链接:
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4197
题目:
在Bytemountains有N座山峰,每座山峰有他的高度$h_i$。有些山峰之间有双向道路相连,共M条路径,每条路径有一个困难值,这个值越大表示越难走
现在有Q组询问,每组询问从点v开始只经过困难值小于等于x的路径所能到达的山峰中第k高的山峰,如果无解输出-1。
在线做法题解:
一句话题解:kruskal重构树dfs序上建主席树直接查询第k大即可
知识点拓展:
下面讲讲kruskal重构树是干啥的?这是我第一次做kruskal重构树的题目,下面就当是学习笔记了
从这道题来看,显然我们只需要考虑最小生成树上的路径即可
那么所谓kruskal重构树,就是在kruskal的算法过程中搞一波事情。思想就是在建最小生成树的时候不是直接连边,而是新建一个节点,并把这个节点的值设为边权,然后令两个连通块的代表点分别作为它的左右儿子。然后令这个新节点成为整个连通块的代表点
显然这棵树会具备这样的一个性质:从一个节点向他的儿子一路dfs下去,遍历到的点的点权都是单调递减的,因为我们是排序之后不断加边的(父亲肯定比儿子后建立)
那么我们发现原来的每个节点其实就是这棵子树中的叶子节点,要查询节点x出发经过边权不大于val的路径的点,我们就从节点x不断向上直到找到一个最远的祖先的点权刚好小于等于val,这个祖先的子树中的点显然都满足到x的路径上的边都不超过val
怎么找呢?我们可以倍增
这道题中由于我们要查询第k大,也就是我们要对每个节点的子树中的叶子节点维护第k大。显然可以直接转化为dfs序上查询区间第k大,因此我们还需要主席树
据某大佬说,kruskal重构树可以用来解决一系列“查询从某个点出发经过边权不超过val的边所能到达的节点”的问题,可以和其他数据结构(比如主席树)套用来维护更加复杂的询问
#include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<iostream> using namespace std;const int N=1e5+15; const int M=5e5+15; const int NN=N<<2; const int inf=1e9+7; int n,m,q,xys,tim,tot,cnt; int height[N]; int fa[NN][50],value[NN],in[NN],st[NN],ed[NN],head[NN],leaf[NN],pos[NN],root[NN],f[NN]; int lx[NN<<5],rx[NN<<5],siz[NN<<5]; struct E {int x,y,w; }e[M]; struct EDGE {int to,nxt; }edge[NN]; inline int read() {char ch=getchar();int s=0,f=1;while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while (ch>='0'&&ch<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return s*f; } bool cmp(E a,E b) {return a.w<b.w;} void add(int u,int v) {edge[++tot]=(EDGE){v,head[u]};head[u]=tot; } int find(int x) {if (f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);return f[x]; } void dfs(int x) {pos[++tim]=x;st[x]=tim;for (int i=1;(1<<i)<=(n<<1);i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){int y=edge[i].to;if (y==fa[x][0]) continue;fa[y][0]=x;dfs(y);leaf[x]+=leaf[y];}if (!leaf[x]) leaf[x]=1;ed[x]=tim; } int update(int pre,int l,int r,int x) {int o=++cnt;lx[o]=lx[pre];rx[o]=rx[pre];siz[o]=siz[pre]+1;if (l==r) return o;int mid=l+r>>1;if (x<=mid) lx[o]=update(lx[pre],l,mid,x);else rx[o]=update(rx[pre],mid+1,r,x);return o; } int kth(int lr,int rr,int l,int r,int k) {if (l==r) return l;int x=siz[rx[rr]]-siz[rx[lr]];int mid=l+r>>1;if (k<=x) return kth(rx[lr],rx[rr],mid+1,r,k);else return kth(lx[lr],lx[rr],l,mid,k-x); } int query(int v,int x,int k) {for (int i=24;i>=0;i--) if (value[fa[v][i]]<=x&&fa[v][i]) v=fa[v][i];if (leaf[v]<k) return -1;int l=st[v],r=ed[v];return kth(root[l-1],root[r],0,inf,k); } int main() {n=read();m=read();q=read();for (int i=1;i<=n;i++) height[i]=read();for (int i=1;i<=m;i++){e[i].x=read();e[i].y=read();e[i].w=read();}sort(e+1,e+1+m,cmp);xys=n;//原来节点的标号从1-n for (int i=1;i<=n<<1;i++) f[i]=i;for (int i=1;i<=m;i++){int fx=find(e[i].x),fy=find(e[i].y);if (fx!=fy){value[++xys]=e[i].w;f[fx]=f[fy]=xys;add(xys,fx);add(xys,fy);in[fx]++;in[fy]++;}}for (int i=1;i<=xys;i++) if (!in[i]) dfs(i);for (int i=1;i<=xys;i++){if (pos[i]<=n) root[i]=update(root[i-1],0,inf,height[pos[i]]);else root[i]=root[i-1];}while (q--){int v=read(),x=read(),k=read();printf("%d\n",query(v,x,k);}return 0; }
离线做法题解:
同样我们要在kruskal的算法流程上做文章
考虑把询问按x排序,每次把不大于这个长度的边加入最小生成树,然后对每个联通块建主席树,加边合并主席树。最后再当前查询点所在的主席树中查询第k大即可
这个好想一点
#include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<iostream> #define mid ((l+r)>>1) using namespace std;const int M=5e5+15; const int N=1e5+15; const int inf=1e9; int n,m,Q,tot; int rt[N],fa[N],lx[N<<5],rx[N<<5],siz[N<<5],ans[M],hei[N]; struct EDGE {int x,y,w; }e[M]; struct Que {int id;int v,x,k; }q[M]; bool operator < (EDGE x,EDGE y) {return x.w<y.w;} bool operator < (Que x,Que y) {return x.x<y.x;} inline int read() {char ch=getchar();int s=0,f=1;while (ch<'0'|ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while (ch>='0'&&ch<='9') {s=(s<<3)+(s<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return s*f; } int find(int x) {if (fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);return fa[x]; } void update(int &o,int l,int r,int x) {if (!o) o=++tot;siz[o]++;if (l==r) return;if (x<=mid) update(lx[o],l,mid,x);else update(rx[o],mid+1,r,x); } void merge(int &x,int y) {if (!x||!y) {x=x|y;return;}siz[x]+=siz[y];merge(lx[x],lx[y]);merge(rx[x],rx[y]); } int kth(int o,int l,int r,int k) {if (l==r) return l;if (siz[rx[o]]>=k) return kth(rx[o],mid+1,r,k);else return kth(lx[o],l,mid,k-siz[rx[o]]); } int main() {n=read();m=read();Q=read();for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,hei[i]=1,update(rt[i],0,inf,read());for (int i=1;i<=m;i++){e[i].x=read();e[i].y=read();e[i].w=read();}sort(e+1,e+1+m);for (int i=1;i<=Q;i++){q[i].id=i;q[i].v=read();q[i].x=read();q[i].k=read();}sort(q+1,q+1+Q);int l=1,cnt=0;for (int i=1;i<=Q;i++){int v=q[i].v,x=q[i].x,k=q[i].k;while (e[l].w<=x&&l<=m){if (cnt==n-1) break;int f1=find(e[l].x),f2=find(e[l].y);++l;if (f1==f2) continue;++cnt;if (hei[f1]>hei[f2])//启发式合并 {merge(rt[f1],rt[f2]);fa[f2]=f1;}else if (hei[f1]<hei[f2]){merge(rt[f2],rt[f1]);fa[f1]=f2;}else {merge(rt[f1],rt[f2]);fa[f2]=f1;hei[f1]++;}}v=find(v);if (siz[rt[v]]<k) ans[q[i].id]=-1;else ans[q[i].id]=kth(rt[v],0,inf,k);}for (int i=1;i<=Q;i++) printf("%d\n",ans[i]);return 0; }
转载于:https://www.cnblogs.com/xxzh/p/9768183.html
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