Kruskal重构树学习笔记

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Kruskal重构树学习笔记
- 前言
- 例题1 BZOJ3732 Network
- 例题2 [NOI2018] 归程

前言

Kruskal重构树是一种比较冷门的算法，但在解决某些问题时相当好用。

例题1 BZOJ3732 Network

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在一个 nnn 点 mmm 边的无向连通图中多次询问两点间的最长边最小值（即两点间的瓶颈）。

这是一个经典的 Kruskal重构树问题。

这个问题其实也可以直接用最小生成树来解决。因为要最小化最长边，选择最小生成树上的边肯定是不劣的。于是我们可以在最小生成树上倍增得到答案。

而Kruskal重构树则是这样的做的：在用Kruskal合并连通块时，顺便维护一个树的结构。比如要合并连通块 fufufu 和 fvfvfv，中间有权值为 www 的边相连，就新建一个节点作为 合并后连通块的根，赋予点权为 www，并且设置左右儿子为 fufufu 和 fvfvfv。Kruskal做完后，我们就构造了具有以下特征的树：

叶子节点是原图的 nnn 个点，没有点权。
非叶子节点代表着原图中 在生成树上的 n−1n-1n−1 条边，点权就是原图的边权。
由于合并时边权有一定次序，我们发现得到的树是个二叉堆（不考虑叶子节点）。如果是做最小（大）生成树，得到的是大（小）根堆。
两点于树上的路径上的各点，相当于原图上两点走最小（大）生成树的路径上的各边。

这个树叫做 Kruskal重构树。易得这棵树一共有 2n−12n-12n−1 个点， 2n−22n-22n−2 条边。

回到这题。很容易知道，我们要找的，就是在 Kruskal 重构树上两点路径中的最长边。或者准确点，两点路径上的点权最大者。别犯浑用倍增做啊！由于 Kruskal 重构树是个堆，点权最大的就是两点的 lca 了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
ll read() {ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');return x * f;
}
const int MAXN = 30005;
const int MAXM = 60005;
int n, m, k, num, upto[MAXN], val[MAXN], head[MAXN], ver[MAXM], nxt[MAXM], cnt, dep[MAXN], sz[MAXN], fa[MAXN], son[MAXN], top[MAXN];
struct Edge {int u, v, w;}e[MAXM];
bool cmp(const Edge& a, const Edge& b) {return a.w < b.w;}
int getup(int u) {return u == upto[u] ? u : upto[u] = getup(upto[u]);}
void addedge(int u, int v) {ver[++cnt] = v; nxt[cnt] = head[u]; head[u] = cnt;}
void Kruskal() {num = n;sort(e + 1, e + 1 + m, cmp);for(int i = 1; i <= n; i++) upto[i] = i;for(int i = 1; i <= m; i++) {int fu = getup(e[i].u), fv = getup(e[i].v);if(fu == fv) continue;val[++num] = e[i].w; upto[num] = upto[fu] = upto[fv] = num;addedge(fu, num); addedge(num, fu); addedge(fv, num); addedge(num, fv);}
}
void dfs1(int u, int f) {dep[u] = dep[f] + 1; sz[u] = 1; fa[u] = f; son[u] = 0;for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) if(ver[i] != f) {int v = ver[i]; dfs1(v, u); sz[u] += sz[v];if(sz[v] > sz[son[u]]) son[u] = v;}
}
void dfs2(int u, int tprt) {top[u] = tprt; if(son[u]) dfs2(son[u], tprt);for(int i = head[u]; i; i = nxt[i]) if(ver[i] != fa[u] && ver[i] != son[u]) {int v = ver[i]; dfs2(v, v);}
}
int Lca(int u, int v) {while(top[u] != top[v]) {if(dep[top[u]] < dep[top[v]]) swap(u, v);u = fa[top[u]];}return dep[u] > dep[v] ? v : u;
}
int main() {n = read(); m = read(); k = read();for(int i = 1; i <= m; i++) e[i].u = read(), e[i].v = read(), e[i].w = read();Kruskal();int rt = getup(1);dfs1(rt, 0); dfs2(rt, rt);for(int i = 1; i <= k; i++) {int a = read(), b = read();printf("%d\n", val[Lca(a, b)]);}return 0;
}

例题2 [NOI2018] 归程

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这道题与 Kruskal重构树无关的部分我直接写了篇题解，这里仅提一下这样一个小问题：

在一个无向连通图中多次询问，每次给出点 vvv 和限制 ppp，请回答仅经过边权 ≤p\le p≤p 的边可以到达点的个数。（和原题稍有转化）

这是另一个 Kruskal 重构树的模型。

这个问题似乎不好做，不过有个简单易行的离线做法。按限制把询问升序排序，在做最小生成树的同时回答询问即可。

在线做法？我只知道Kruskal重构树，可能是我太菜

我们建完Kruskal重构树后，问题就转化为：不经过点权 >p>p>p 的点，最多可以到多少个点。然后由于它是一棵树，我们能去的点都在一个子数内。倍增找到深度最小的点权≤p\le p≤p 的点，询问子树信息即可。