CodeForces - 1417F Graph and Queries(克鲁斯卡尔重构树的dfs序上建线段树)

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题目大意：给出一个 n 个点 m 条边组成的无向图，每个点初始时都有一个权值 val，满足：

每个点的 val[ i ] 各不相同
val[ i ] ∈ [ 1 , n ]

现在有 m 次操作，每次操作分为以下两种类型：

1 x：询问点 x 所在的连通块内 val 的最大值，设 val[ y ] 最大，输出 val[ y ]，且进行赋值操作：val[ y ] = 0
2 x：将第 x 条边删除

题目分析：难点比较多，且也很具有误导性，第一个难点就是如何处理连通块内的最大值问题，之前我只涉及过在一棵树上求子树内的最大值（用线段树维护），再就是删除边的操作，很容易误导去思考正难则反，然后倒着进行并查集

但这个题目的提示也蛮足的：可以到达的连通块问题，这类问题其实可以转换为克鲁斯卡尔重构树的问题

考虑克鲁斯卡尔重构树的简化模型：对于原图中的一条边将其转换为一个点与其相连，并将边权赋给点权，如下图所示：

因为是按照克鲁斯卡尔算法的思想去建树的，所以相对于根节点而言，深度越浅的节点权值越大，利用这个性质就可以实现，在一个所有边的权值不大于某个阈值的联通块内互相可达，来个例题？洛谷 - P4197

这样一来就可以给每条边赋权了，对于永远都不会被删除掉的边，赋权为 0 ，对于第 i 条被删除的边，赋权为 inf - i，最后再用边权为 inf 的边用来联通整个图（因为初始时的图不保证联通）

建立克鲁斯卡尔重构树，在其 dfs 序上维护一棵线段树，线段树的作用是查找区间最大值以及其位置，这样就可以查找某个子树内的最大值了

于是模型转换如下，初始时设置阈值 val = inf - 1，意为没有一条边被删除：

1 x：查找点 x 在阈值 val 下所在的子树内的最大值
2 x：阈值减一，代表将第 i 条边删除

代码：

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;int n,m,q;struct Qu
{int op,x;
}qu[N];struct Edge
{int u,v,w;bool operator<(const Edge& t)const{return w<t.w;}
}edge[N];struct Max
{int val,pos;Max(){}Max(int val,int pos):val(val),pos(pos){}static Max inf(){return Max(-0x3f3f3f3f,0);}bool operator<(const Max& t)const{return val<t.val;}
};struct Node
{int l,r;Max mmax;
}tree[N<<2];int a[N],f[N],val[N],dp[N][25],L[N],R[N],id[N],tot;vector<int>node[N];
/*线段树*/
void pushup(int k)
{tree[k].mmax=max(tree[k<<1].mmax,tree[k<<1|1].mmax);
}void build(int k,int l,int r)
{tree[k].l=l;tree[k].r=r;if(l==r){tree[k].mmax.val=a[id[l]];tree[k].mmax.pos=l;return;}int mid=l+r>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);pushup(k);
}void update(int k,int pos)
{if(tree[k].l==tree[k].r){tree[k].mmax.val=0;return;}int mid=tree[k].l+tree[k].r>>1;if(pos<=mid)update(k<<1,pos);elseupdate(k<<1|1,pos);pushup(k);
}Max query(int k,int l,int r)
{if(tree[k].l>r||tree[k].r<l)return Max::inf();if(tree[k].l>=l&&tree[k].r<=r)return tree[k].mmax;return max(query(k<<1,l,r),query(k<<1|1,l,r));
}
/*线段树*/
/*dfs序+树上倍增*/
void dfs(int u,int fa)
{dp[u][0]=fa;for(int i=1;i<=20;i++)dp[u][i]=dp[dp[u][i-1]][i-1];L[u]=++tot;id[tot]=u;for(auto v:node[u])dfs(v,u);R[u]=tot;
}int get_pos(int u,int up)//树上倍增找满足的祖先
{for(int i=20;i>=0;i--)if(dp[u][i]!=0&&val[dp[u][i]]<=up)u=dp[u][i];return u;
}
/*dfs序+树上倍增*/
/*并查集+克鲁斯卡尔重构树*/
int find(int x)
{return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}int Ex_Kruskal()
{for(int i=1;i<=n<<1;i++)f[i]=i;int index=n;sort(edge+1,edge+1+m);for(int i=1;i<=m;i++){int xx=find(edge[i].u),yy=find(edge[i].v);if(xx!=yy){f[xx]=f[yy]=++index;val[index]=edge[i].w;node[index].push_back(xx);node[index].push_back(yy);}}int last=1;for(int i=1;i<=n;i++){int xx=find(last),yy=find(i);if(xx!=yy){f[xx]=f[yy]=++index;val[index]=inf;node[index].push_back(xx);node[index].push_back(yy);last=index;}}return index;
}
/*并查集+克鲁斯卡尔重构树*/
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v);edge[i].w=0;}int val=inf;for(int i=1;i<=q;i++){scanf("%d%d",&qu[i].op,&qu[i].x);if(qu[i].op==2)edge[qu[i].x].w=--val;}int root=Ex_Kruskal();dfs(root,0);build(1,1,root);val=inf-1;for(int i=1;i<=q;i++){if(qu[i].op==1){int x=get_pos(qu[i].x,val);Max ans=query(1,L[x],R[x]);printf("%d\n",ans.val);update(1,ans.pos);}elseval--;}return 0;
}

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