今天分析的这道题目，是LeetCode上 Hard 级别的一道题目，虽然代码行数只有 10 来行。

一 先来看看题目

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。本题中，路径被定义为一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

示例 1：

输入：[1,2,3]

1

/ \

2   3

输出：6

示例 2：

输入：[-10,9,20,null,null,15,7]

-10

/ \

9  20

/  \

15   7

输出：42

链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-tree-maximum-path-sum

二 分析

这道题目的思路基本可以套用 最大子数组和 ，如果之前并不熟悉最大子数组和的动态规划解法，这道题可能就非常难，关于 最大子数组和，可以参考我昨天整理的完整分析，算是动态规划的入门篇：

动态规划入门篇

最大子数组和，动规解法，可以看作一维的；二叉树子树和，可以看作二维的，思路具有一致性。

最大二叉子树和，也有一个包含当前节点的最大收益定义：current_sum，它被定义为：node.val + max( preOrder(node.left), preOrder(node.right) )，这是二维最大子树问题的关键决策方程，或者状态转移方程。

下面通过题目给出的二叉树为例，解释上面的决策方法：

待求解的二叉树：

自底向上(bottom-up)，分别求出每个节点的current_sum，对于叶节点，current_sum等于自身值，但是需要注意：如果current_sum小于0，直接丢弃此节点，认为贡献值为0，所以每个节点的current_sum都是不小于0的：

而节点20的 current_sum 等于：

节点 -10 的 current_sum 等于节点 20 和节点 9 最大值，加上 -10：

这样求解出每一个节点的 current_sum，这部分代码可以写为：

# Definition for a binary tree node.# class TreeNode:#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):#         self.val = val#         self.left = left#         self.right = rightclass Solution:    def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:        self.best_sum = float('-inf')

        def preOrder(node):            # 空节点返回 current_sum, 0            if not node:                return 0

            # preOrder(node.left)             current_sum_left = max(preOrder(node.left), 0)# 同理，             current_sum_right = max(preOrder(node.right), 0)# 包括当前节点的最大累积和，编个名词，就说包括node节点的最大贡献值            current_sum = node.val + max(current_sum_left,current_sum_right)return current_sum        preOrder(root)return self.best_sum

接下来，如何找出最大路径和呢？

我们可以在上面自底向上递归的同时，寻找出每个节点对应的最大路径path_sum，对于node节点的path_sum，通过公式：path_sum = node.val + current_sum_left + current_sum_right 求出，如果current_sum_left 等于0，current_sum_right 等于0，则path_sum等于node.val:

同理，还有如下三种情况：

选择最大的path_sum，就得到最大二叉子树和

三 完整代码

# Definition for a binary tree node.# class TreeNode:#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):#         self.val = val#         self.left = left#         self.right = rightclass Solution:    def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:        self.best_sum = float('-inf')

        def preOrder(node):            # 空节点返回 current_sum, 0            if not node:                return 0

            # preOrder(node.left)             current_sum_left = max(preOrder(node.left), 0)# 同理，             current_sum_right = max(preOrder(node.right), 0)# 路径的意味就出来了，# 可能4种情况：# 1) 路径只有node节点# 2)3) 仅有左子树、仅有右子树# 4) 都有左、右子树            path_sum = node.val + current_sum_left + current_sum_right # 选择最大的current_sum            self.best_sum = max(self.best_sum, path_sum)# 包括当前节点的最大累积和，编个名词，就说包括node节点的最大贡献值            current_sum = node.val + max(current_sum_left,current_sum_right)return current_sum        preOrder(root)return self.best_sum

希望此文对大家有帮助！

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