问题

//给一个整数数组 nums ， // 请找出一个具有"最大和"的连续子数组（子数组最少包含一个元素）， // 返回其最大和。

//子数组是数组中的一个"连续部分"

分析

// 这是一道典型的使用「动态规划」

(连续、只要结果)解决的问题，

// 需要我们掌握动态规划问题设计状态的技巧（无后效性），

// 并且需要知道如何推导状态转移方程，

// 最后再去优化空间。

转换为若干个子问题

连续：可以求出 ”所有“ 经过(以**结尾的)输入数组的某一个数的连续子数组的最大和（只要这个结果）。

如果编号为 i 的子问题的结果是负数或者 0 ，

那么编号为 i + 1 的子问题就可以把编号为 i 的子问题的结果”舍弃掉“（因为要求是最大和）

代码

main函数

package DataStructure_start;public class DS20230109 {public static void main(String[] args) {int[] nums = {-1,9,-2,3,5,6};System.out.println(maxSubArray(nums));System.out.println(maxSubArray1(nums));System.out.println(maxSubArray2(nums));System.out.println(maxSubArray3(nums));}
}

方法一：动态规划

参考1：（子数组）

时间复杂度：O(n),N是输入数组的长度

public static int maxSubArray(int[] nums) {int len = nums.length;// dp[i] 表示：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和int[] dp = new int[len];dp[0] = nums[0];//        如果编号为 i 的子问题的结果是负数或者 0 ，
//        那么编号为 i + 1 的子问题就可以把编号为 i 的子问题的结果”舍弃掉“（因为要求是最大和）
//        即：如果i的子问题的结果是正数，则保留for (int i = 1; i < len; i++) {
//            如果前一个数为正数if (dp[i - 1] > 0) {
//                则再加下一个数
//                ？但只是相邻的两个数 ×
//                  dp[i] 表示：以 nums[i] 结尾的连续子数组的最大和
//                  注意区别dp[]（一个连续的数组）与num[]（一个数）的区别dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];} else {dp[i] = nums[i];}}// 也可以在上面遍历的同时求出 res 的最大值，这里我们为了语义清晰分开写，大家可以自行选择int res = dp[0];for (int i = 1; i < len; i++) {res = Math.max(res, dp[i]);//调用函数Math：max函数：判断谁是最大值（三元表达式）}return res;//返回最大和}

补充：

三元表达式

public static int max(int a, int b) {

return (a >= b) ? a : b;

}

时间复杂度从小到大排序：

（由里向外分析时间复杂度；取最大的时间复杂度）

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

参考2：优化后

时间复杂度：O(n),N是输入数组的长度

public static int maxSubArray1(int[] nums) {int pre = 0;//前一个数int res = nums[0];//最大和//            只适用于数组，循环累加（优化点★）for (int num : nums) {pre = Math.max(pre + num, num);res = Math.max(res, pre);}return res;}

有后效性：

如果之前的阶段求解的子问题的结果包含了一些不确定的信息，导致了后面的阶段求解的子问题无法得到，或者很难得到，这叫「有后效性」

解决「有后效性」的办法是固定住需要分类讨论的地方，记录下更多的结果。在代码层面上表现为：

状态数组增加维度；

把状态定义得更细致、准确：状态定义只解决路径来自左右子树的其中一个子树。

需要经常思考为什么想到需要这样定义状态。

动态规划的是首先对数组进行遍历，当前最大连续子序列和为 sum，结果为 ans

如果 sum > 0，则说明 sum 对结果有增益效果，则 sum 保留并加上当前遍历数字

如果 sum <= 0，则说明 sum 对结果无增益效果，需要舍弃，则 sum 直接更新为当前遍历数字

每次比较 sum 和 ans的大小，将最大值置为ans，遍历结束返回结果

时间复杂度：O(n)

public static int maxSubArray3(int[] nums) {int ans = nums[0];int sum = 0;//        此处类似方法一参考1中的优化部分，即for循环数组for(int num: nums) {//          正数if(sum > 0) {
//              累加sumsum += num;
//              负数，保持不变} else {sum = num;}//          三元表达式：比较取最大值ans = Math.max(ans, sum);}return ans;}

方法二：分治法（分类讨论，分成三部分）

复杂度分析：

时间复杂度：O(NlogN)，这里递归的深度是对数级别的，每一层需要遍历一遍数组（或者数组的一半、四分之一）；

空间复杂度：O(logN)，需要常数个变量用于选取最大值，需要使用的空间取决于递归栈的深度。

连续子序列的最大和主要由这三部分子区间里元素的最大和得到：

第 1 部分：子区间 [left, mid]；

第 2 部分：子区间 [mid + 1, right]；

第 3 部分：包含子区间 [mid , mid + 1] 的子区间，

即 nums[mid] 与 nums[mid + 1] 一定会被选取（因为跨区。从中间向两边扩散，扩散到底选出最大值）。

对这三个部分求最大值即可。

public static int maxSubArray2(int[] nums) {int len = nums.length;if (len == 0) {return 0;}return maxSubArraySum(nums, 0, len - 1);}private static int maxCrossingSum(int[] nums, int left, int mid, int right) {// 一定会包含 nums[mid] 这个元素int sum = 0;int leftSum = Integer.MIN_VALUE;// 左半边包含 nums[mid] 元素，最多可以到什么地方// 走到最边界，看看最值是什么// 计算以 mid 结尾的最大的子数组的和for (int i = mid; i >= left; i--) {sum += nums[i];if (sum > leftSum) {leftSum = sum;}}sum = 0;int rightSum = Integer.MIN_VALUE;// 右半边不包含 nums[mid] 元素，最多可以到什么地方// 计算以 mid+1 开始的最大的子数组的和for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {sum += nums[i];if (sum > rightSum) {rightSum = sum;}}return leftSum + rightSum;}private static int maxSubArraySum(int[] nums, int left, int right) {if (left == right) {return nums[left];}int mid = left + (right - left) / 2;return max3(maxSubArraySum(nums, left, mid),maxSubArraySum(nums, mid + 1, right),maxCrossingSum(nums, left, mid, right));}private static int max3(int num1, int num2, int num3) {return Math.max(num1, Math.max(num2, num3));}

参考

作者：liweiwei1419

链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/solution/dong-tai-gui-hua-fen-zhi-fa-python-dai-ma-java-dai/

来源：力扣（LeetCode）

作者：guanpengchn

链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/solution/hua-jie-suan-fa-53-zui-da-zi-xu-he-by-guanpengchn/