四色定理（four color map theorem）是一个著名的数学定理[1]，即对任意的（平面上的）地图染色，要求相邻的国家颜色不同，四种颜色即可完成着色。

南非数学家法兰西斯·古德里在1852年提出“四色问题”或“四色猜想”。证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但是四色定理证明持续了很长时间。

四色定理不是地图学的定理，四色定理是第一个由计算机证明的数学定理。1976年，哈肯及其学生在伊利诺伊大学（即现在UIUC）的IBM360电脑上编程，经过电脑1200小时的验证，他们终于在6月证明四色定理。1976年6月22日，哈肯和阿佩尔在于多伦多大学召开的美国数学学会（A.M.S.）夏季会议公布他们的结果。不久，伊利诺伊大学数学系的邮戳上加上了“四种颜色就够了”（FOUR COLORS SUFFICE）的一句话，以庆祝四色猜想得到解决。1977年，哈肯和阿佩尔将结果写成名为《任何平面地图都能用四种颜色染色》（Every planar map is four colorable）的论文，分成上下两部分，发表在《伊利诺伊数学杂志》（Illinois Journal of Mathematics）上[2][3].

图1 四色定理的证明（自[4]）

这是现在伊利诺伊大学大学厄巴纳香槟分校数学系主楼（离我们CyberGIS办公楼大约2分钟步行距离）。我和同事曾在午饭后参观过UIUC数学楼，学术氛围非常浓厚。

图2UIUC数学楼

四色定理被证明后，经历了十几年争议、修正和改进的过程。1986年，哈肯和阿佩尔应《数学情报》杂志的邀请，发表了1篇清晰易懂的证明总结文章，1989年的最终的定稿超过400页（貌似图论中的经典定理证明都比较长）。

图3 四色定理专著（自[4]）

四色定理不是地图学定理，但它是地图学的经典问题。地图设计的专著中对四色定理描述很少。四色定理在地图中的应用其实没有想象的那么广，其实原因比较多，第一个是地图着色中可能会有飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家（例如美国的阿拉斯加州），而地图着色时仍需要这两个区域涂上同样颜色。即使很多情况下，有些地图可以用四色着色，但是实际成图中依然用多种颜色（大于等于5种）[5]。我认为还有个原因是四种颜色来着色上千个多边形，四种颜色交错、不够美观。5年前我看到有学者基于强化学习来计算平面点集的凸包时，曾想过基于强化学习求解地图着色问题，这或许可行？

图4 地图设计原理

关于四色定理算法的综述、算法和应用的文献资源比较多，我推荐两个参考资源。作为一个GISer，Marco关于图着色研究的算法进展[6]和Joe介绍的多种着色算法[7]（比如经典的DSATUR算法等）值得一看。

图 5 DSATUR算法原理

后记：大约十几年前，我曾在北京超图软件股份有限公司(SuperMap)的研究院（之前称为研发中心）完成四色算法的编码实现，针对全国2800多个县市级数据，当时的着色算法能在秒内时间完成5着色，4着色大概需要十几秒？SuperMap iDesktop新版本中的地图着色算法，想必已经被同事们提升了更高的计算效率。

参考：

1. 维基百科四色定理. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E8%89%B2%E5%AE%9A%E7%90%86

2. K. Appel, W. Haken. (1977). Every planar map is four colorable part I. discharging. Illinois Journal of Mathematics, 21, 429-490.

3. K. Appel, W. Haken, J. Koch. (1977). Every planar map is four colorable. Part II: Reducibility. Illinois Journal of Mathematics, 21(3), 491-567.

4. https://www.math.ku.dk/formidling/moed-math/moed-math-2014/oplaegholdere/WilsonFOURCS.pdf

5. Tyner, J. A. (2014). Principles of map design. Guilford Publications.2014.

6.http://www.imada.sdu.dk/~marco/gcp/

7.http://webdocs.cs.ualberta.ca/~joe/Coloring/