【归档】设U是V的子空间，求U + U

Note: 旧的wordpress博客弃用，于是将以前的笔记搬运回来。

Question:
Suppose that U U U is a subspace of V V V. What is U + U U + U U+U?
Solution:
U + U = U U + U = U U+U=U.
Proof:
Take u , v ∈ U u, v \in U u,v∈U. Then every element in U + U U + U U+U can be written as u + v u + v u+v. Since U U U is a subspace of V V V, U is closed under addition. Therefor u + v ∈ U u + v \in U u+v∈U. Hence U + U ⊂ U U + U \subset U U+U⊂U.
If we take w = u + 0 ∈ U + U w = u + 0 \in U + U w=u+0∈U+U, we can get every element in U U U ( w ∈ U w \in U w∈U). Therefor U ⊂ U + U U \subset U + U U⊂U+U.
Thus U = U + U U = U + U U=U+U.

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