(简易)一元三次方程拆分/求根方法

例:x3+7x2+14x+8=0x^3+7x^2+14x+8=0x3+7x2+14x+8=0
式中常数8的因子有[1,2,4,8]
为了让因子之和或差等于二次项的系数.故舍弃8.故根为拆分出的因子的相反数.
x1=−1,x2=−2,x3=−4x_1=-1, x_2=-2,x_3=-4x1=−1,x2=−2,x3=−4即拆分为(x+1)(x+2)(x+4)=0(x+1)(x+2)(x+4)=0(x+1)(x+2)(x+4)=0且三个根两两之间的乘积的总和等于一次项系数,即(−1∗2)+(−1∗−4)+(−2∗−4)=14(-1*2)+(-1*-4)+(-2*-4)=14(−1∗2)+(−1∗−4)+(−2∗−4)=14

拆解步骤

例1:x3+9x2+23x+15=0x^3+9x^2+23x+15=0x3+9x2+23x+15=0

15的因子为[1,3,5,15]
为满足因子之和或差等于二次项的系数,故舍去15
取因子相反数,即x1=−1,x2=−3,x3=−5x_1=-1,x_2=-3,x_3=-5x1=−1,x2=−3,x3=−5
验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数(−1∗−3)+(−1∗−5)+(−3∗−5)=23(-1*-3)+(-1*-5)+(-3*-5)=23(−1∗−3)+(−1∗−5)+(−3∗−5)=23
(x+1)(x+3)(x+5)=0(x+1)(x+3)(x+5)=0(x+1)(x+3)(x+5)=0

例2:x3+10x2+27x+18=0x^3+10x^2+27x+18=0x3+10x2+27x+18=0

15的因子为[1,2,3,6,9,18]
为满足因子之和或差等于二次项的系数且只需保留3个,故舍去9,18,而1+3+6=10,故舍去2
取因子相反数,即x1=−1,x2=−3,x3=−6x_1=-1,x_2=-3,x_3=-6x1=−1,x2=−3,x3=−6
验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数(−1∗−3)+(−1∗−6)+(−3∗−6)=27(-1*-3)+(-1*-6)+(-3*-6)=27(−1∗−3)+(−1∗−6)+(−3∗−6)=27
(x+1)(x+3)(x+6)=0(x+1)(x+3)(x+6)=0(x+1)(x+3)(x+6)=0

重根情况

例3:x3−4x2+5x−2=0x^3-4x^2+5x-2=0x3−4x2+5x−2=0

2的因子为[1,2]
为满足因子之和或差等于二次项的系数且需满足3个,因不足3个则必有重根,为满足因子之和为4,故取[1,2,1]
取因子相反数,即$x_1=-1,x_2=-2,x_3=-1
验算:每两根之积的结果的综合是否等于一次项系数(−1∗−2)+(−2∗−1)+(−1∗−1)=5(-1*-2)+(-2*-1)+(-1*-1)=5(−1∗−2)+(−2∗−1)+(−1∗−1)=5
(x+1)2(x+2)=0(x+1)^2(x+2)=0(x+1)2(x+2)=0

判断是否存在+1,-1的根

考试中一般三次方程会有一个1或-1的根.因为+1,-1是任何数的因子.
判断是否有+1,-1的根,即隔次项系数相加等于另一组隔次项系数相加.
例x3+9x2+23x+15=0x^3+9x^2+23x+15=0x3+9x2+23x+15=0

三次项系数+一次项系数(1+23)=24[1式][1式][1式]
二次项系数+零次项系数(9+15)=24[2式][2式][2式]
因为[1式]=[2式][1式]=[2式][1式]=[2式],故必有一个根为(-1)
若[1式]和[2式]互为相反数,即[1式]=−[2式][1式]=-[2式][1式]=−[2式],则必有一个根为1.

方法失效的情况

当上述方法不起租用说明可能存在共轭根
例s3+s2−2=0s^3+s^2-2=0s3+s2−2=0此时1+2+1≠11+2+1\neq11+2+1=1,且(−1)+(−2)+(−1)≠1(-1)+(-2)+(-1)\neq1(−1)+(−2)+(−1)=1,
但判断是否存在±1\pm1±1的方法依然有效.
当判断存在一个±1\pm1±1根后可用长除法.
因为有一个根为(1),故除数为(s-1)
结果(s−1)(s2+2s+2)(s-1)(s^2+2s+2)(s−1)(s2+2s+2)此时再用配方法,十字相乘公式法等化简.

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