绝对优势与比较优势的数学分析与其…
2.4 作用点与经济学
2.4.1作用点和绝对优势及比较优势
当有n国生产2种产品时,可以写出如下的带约束的函数,
其中Fi1和Fi2分别为i国生产1单位产品1和产品2所需劳动量,xi为i国用于生产1产品的劳动量。亚当•斯密的绝对优势和李嘉图的比较优势均可以以上述函数数学化,当涉及多种产品的生产时,可以将以上函数进行相应扩展。
亚当•斯密的绝对优势和李嘉图的比较优势是函数在特定初始状态下的一个特解。
亚当•斯密提出绝对优势理论,各国集中力量生产有绝对优势的产品,然后进行贸易可以增加产出。大卫李嘉图提出了比较优势理论,处于比较优势的国家,应集中力量生产优势较大的商品,处于比较劣势的国家,应集中力量生产劣势较小的商品然后进行贸易,也可以增加总产出。
英国生产1单位的衣料需要100单位劳动,生产1单位葡萄酒需要120单位劳动。葡萄牙生产1单位的衣料需要110单位劳动,生产1单位葡萄酒需要80单位劳动。英国生产1单位衣料上所用劳动比葡萄牙少,英国具有绝对优势;葡萄牙生产1单位葡萄酒所用劳动比英国少,葡萄牙具有绝对优势。
两国进行专业化生产,生产具有绝对优势的产品,并且以1.1:1.1进行交换。英国生产2.2单位的衣料,葡萄牙生产2.375单位的葡萄酒,总产量为4.575,比非专业化时的总产量4增加了0.575单位。两国进行交易后,英国获得1.1单位的衣料,比非专业化时多,获得1.1单位葡萄酒,也比非专业化多。葡萄牙获得1.1单位的衣料,比非专业化时多,获得1.275单位葡萄酒,也比非专业化多。社会福利增加。专业化生产具有绝对优势的商品,然后进行交易,社会福利会增加,这是亚当•斯密专业化生产的理论基础。
在MATLAB中输入如下命令,可以得到亚当•斯密的绝对优势例子的最大值。
[x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:190);
z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/110*y+1/80*(190-y)).*((1/100*x+1/110*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/90*(190-y)>=2));
surf(x,y,z),shading flat
那么如果英国生产1单位葡萄酒需要90单位的劳动,会出现什么结果呢?
此时英国生产1单位的衣料所需劳动量比葡萄牙少,英国在生产衣料上具有绝对优势;葡萄牙生产1单位的葡萄酒所需劳动量比英国少,葡萄牙在生产葡萄酒上就有绝对优势。按照亚当•斯密的绝对优势指导原则,英国应该专业化生产衣料,葡萄牙应该专业化生产葡萄酒,然后两国进行交易,可以得到社会福利的增加。但结果并非总是如此,如下表。
英国专业生产衣料,衣料的总产量为1.9单位,无论英国和葡萄牙以如何比例进行交换,至少有一国的衣料获得量要少于未专业化分工之前的获得量,不符合帕累托约束,即不满足“在没有使任何人境况变坏的前提下,使得至少一个人变得更好。”
大卫·李嘉图在其代表作《政治经济学及赋税原理》中提出了比较成本贸易理论(后人称为“比较优势贸易理论”)。比较优势理论认为,国际贸易的基础是生产技术的相对差别(而非绝对差别),以及由此产生的相对成本的差别。每个国家都应根据“两利相权取其重,两弊相权取其轻”的原则,集中生产并出口其具有“比较优势”的产品,进口其具有“比较劣势”的产品。比较优势贸易理论在更普遍的基础上解释了贸易产生的基础和贸易利得,大大发展了绝对优势贸易理论。广义动量定理Fαt=MV角度来说,作用点不同,产出的成果不同。从战争引出的核心原则为,集中自己的优势打击敌人的弱点可以获得最大的成果。自己的比较优势也就是对方的比较弱点,所以将力量集中打击在敌人的弱点可以获得最大的成果。比较优势是军事原则的集中优势兵力,而打击点则是敌人的劣势,也就是自己机会成本最小的地方。此战争理论核心与比较优势本质是相同的,区别就是战争是毁灭性的的,是负成果,而比较优势是创造性的,是正成果。
如上数字可见,无论生产衣料或葡萄酒,葡国都有绝对优势(absolute advantage):两种产品,产量同样是一,葡国所需的劳工都比英国所需的少。然而,从劳力成本的比例上看,英国一衣料单位的成本是0.833单位葡萄酒(100除以120),而葡国一衣料单位的成本是1.125葡萄酒(90除以80)。这是说,衣料的成本英国比葡国低。英国在衣料生产上有比较优势,如果英国专业化生产衣料,葡萄牙专业生产葡萄酒,然后1:1进行交换,两国所得均比不专业生产多。
由此可见,“两优择其甚,两劣权其轻”,是比较优势理论的基本原则。
这是李嘉图所提出的比较优势理论,也是国际贸易的基础理论。根据比较优势原理,一国在两种商品生产上较之另一国均处于绝对劣势,但只要处于劣势的国家在两种商品生产上劣势的程度不同,处于优势的国家在两种商品生产上优势的程度不同,则处于劣势的国家在劣势较轻的商品生产方面具有比较优势,处于优势的国家则在优势较大的商品生产方面具有比较优势。两个国家分工专业化生产和出口其具有比较优势的商品,进口其处于比较劣势的商品,则两国都能从贸易中得到利益。这就是比较优势原理。也就是说,两国按比较优势参与国际贸易,通过“两利取重,两害取轻”,两国都可以提升福利水平。李嘉图比较优势例子的定义域与值域如下图所示。
在MATLAB中输入如下命令,可以得到李嘉图例子最大值的图形。
[x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:170);
>>z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/90*y+1/80*(170-y)).*((1/100*x+1/90*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/80*(170-y)>=2));
>> surf(x,y,z),shading flat
本文将通过例子和数学推理来说明专业化生产比较优势的产品未必是达到社会福利最大化。绝对优势的例子可以做类同分析。
改变李嘉图比较优势的经典例子中的一个参数,改变后的例子依旧符合李嘉图的比较优势,然后验证结果是否是使社会福利增加。
将葡萄牙生产每单位葡萄酒所需的劳动量从80单位改变到100单位,其他条件不变,如下图。
2.比较优势的专业化分工一定能导致国家的总产出最大化吗?答案是否定的。
其中前两个约束为定义域约束,表示自变量的取值范围。后两个约束是为了满足帕累托最优而设置的约束,即英国与葡萄牙的衣料产量不少于之前的最小值2个单位,英国与葡萄牙的葡萄酒产量不少于之前最小值2个单位。
在MATLAB中输入如下命令来表述上边的函数,可以得到下边的图形。
>> [x,y]=meshgrid(0:.5:220,0:1:190);
图形中显示出最大值为4.08,英国用在生产衣料的劳工为208,葡萄牙用来生产衣料的劳工为0。
>> [x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:190);
随着约束要求的增加,最终导致不存在同时满足两个不等式的解。比如要求衣料的产量大于等于2,葡萄酒的产量大于等于2.1,会导致无解,图形如下所示。
下图给出了不同情况下的两个国家在满足帕累托限制下,为了总产出最大化,两国应该采取的策略。
当两个国家的系数为不同号时,正号的国家采取在1产品上专业化,负号采取在2产品上采取专业化,两个可以达到产出最大化。
当两国系数均为正时,系数小的国家应该采取专业化,系数大的国家采用非专业化。
此函数可以为几十,几百,几千上万维,没有限制,并且此函数有最优解,可以通过优化算法进行求解。
当多个国家生产多种商品时,也可以类似的给出有约束的函数,然后进行优化求解。比如三个国家生产三种产品。带约束的函数如下
在MATLAB中输入如下命令,可以得到函数的定义域和值域的图形,如下图所示
[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);
在杨小凯的论述中,F点为比较优势,H点为比较劣势,H点是不能获得的。但是在图形中,F点和H点的最大值均为6,是否能取到此点取决于自给自足时的初始状态,与比较优势无关,这一点会在下边进行论述。
[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);
z=(2*x+1*(1-x)+3*y+4*(1-y)).*((2*x+3*y>=0.4+0.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=0.8+2.8));
初始状态如下表所示,1国生产1产品的速度为2,产量为0.4;生产2产品的速度为1,产量为0.8。2国生产1产品的速度为5,产量为1.5,生产2产品的速度为4,产量为2.8。
可以在MATLAB中输入如下命令,获得专业化时的图形,其中1产品总产量不小于1.9,2产品不小于4。李嘉图比较优势的专业化生产为特定约束下的一个解。
[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);
z=(2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y)).*((2*x+5*y>=1.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=4));
在MATLAB中输入如下命令,可以得到1产品不小于1.9,2产品不小于3.6时的图形,如下图所示。
[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);
z=(2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y)).*((2*x+5*y>=1.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=3.6));
多个国家决定生产什么产品,不仅取决于亚当•斯密的绝对优势,李嘉图的比较优势,而是取决于初始状态约束和需要达到的目标。李嘉图的比较优势所提出的专业化策略是特定初始状态和约束下的一个特殊解。
比较优势的一个假设是劳动价值论,李嘉图所举的例子是基于力量F(劳动量)的,杨小凯所举的例子是基于时间t的。例如英国劳动F为100,对应1单位的衣料。
从广义动量定理Fαt=MV角度来说,比较优势可以基于力量F,那么也可以基于方向α,基于时间t和基于速度V等,基于不同的因素,比较优势的原理不变,扩展了比较优势的应用。
以上的所有讨论都是基于产出最大化,那么如果产出超出了需求呢?
在进行帕累托约束时,是否需要根据实际情况限制最大产出量呢?限制后会出现什么后果呢?
以李嘉图的绝对优势的例子进行分析,初始状态为未分工,衣料总产量为2单位,葡萄酒为2单位,总产量4单位。
进行专业分工之后,衣料的总产量为2.2单位,葡萄酒为2.375单位,总产量为4.575单位。
后两个不等式约束为帕累托约束,要求优化后两种产品分别产量均不小于2单位。
如果在进行优化之后,两国的衣料需求总量为2.1单位,小于专业化生产的2.2单位,多生产的衣服将没有人需要。那么就需要添加另外的约束,即
此时出现的情况为劳动生产能力大于需求,即凯恩斯所说的有效需求不足。此时会出现多种情况,如以前的惯例,给出几种典型状态。
情况1)英国只有210人专业化生产衣料,多余的10人从事其他行业的工作;葡萄牙只有184人专业化生产葡萄酒,剩余的6人从事其他职业。
情况2)英国只有210人专业化生产衣料,葡萄牙只有184人专业化生产葡萄酒,多余的人均失业。(失业会引起衣料和葡萄酒需求量下降)
情况3)英国有多于210人生产衣料,葡萄牙有多于184人生产葡萄酒,这其中有部分人为半失业状态或者非专业化状态。
情况4)英国有220人生产衣料,葡萄牙有190人生产葡萄酒,大部分人均处于半专业化状态,即大部分人的生产效率较低。这是一种通过降低生产效率来减少产出,从而使产出和需求相等,是一种使所有人都就业的情况。
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