证明素数/质数有无限多个

在证明素数有无穷多个之前我们先弄懂一些基本定理：

质数或素数：若大于 1 的整数 p 的所有正因子只有 p 和 1，则称其为质数或素数（prime）；否则称其为 合数（composite number）。

注意：1既不是素数也不是合数。

算术基本定理：任何一个大于1的自然数 NNN,如果NNN不为质数，那么NNN可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1∗P2a2∗P3a3∗.......∗PnanN=P_1^{a_1}*P_2^{a_2}*P_3^{a_3}*.......*P_n^{a_n}N=P1a1∗P2a2∗P3a3∗.......∗Pnan，这里P1<P2<P3......<PnP_1<P_2<P_3......<P_nP1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数aia_iai是正整数。这样的分解称为NNN 的标准分解式。例如24=23∗324 = 2^3 * 324=23∗3, 2和3都是素数或质数

下面给出欧几里德在 几何原本 里利用反证法证明素数的无穷性。

首先假设存在一个最大的素数PPP。
然后将从2到PPP之间的所有素数相乘然后再加1：N＝2∗3∗5∗7∗11∗.......∗P+1N＝2 * 3 * 5 * 7 * 11 * ....... * P + 1N＝2∗3∗5∗7∗11∗.......∗P+1这样就得到了NNN， NNN是一个合数。其中N>PN > PN>P。
根据算术基本定理可知，一定存在一个素数PiP_iPi可以整除NNN，即NmodPi==0N mod P_i == 0NmodPi==0，由于(N−1)modPi=0(N-1) mod P_i = 0(N−1)modPi=0，那么一定有1modPi=01modP_i = 01modPi=0, 由于PiP_iPi最小为2, 可知不存在这样的PiP_iPi, 所以N是比P更大的素数，这与假设相矛盾，即证明素数有无穷多个。

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