信号与系统小总结：时域与频域
信号与系统小总结：时域与频域
- 连续性与周期性
- 带限与时限
- 周期化与离散化
- 四种信号的Fourier分析
- 1. FS：连续周期信号各频率复振幅
- 2. DFS：离散周期信号各（数字）频率分量的复振幅
- 3. FT：连续非周期信号的频率“成分”
- 4. DTFT：离散非周期信号的频率“成分”
- 四种信号的频谱对应关系
- DFT与四种Fourier分析的关系
- 1. 用DFT分析离散周期信号的DFS
- 2. 用DFT分析离散非周期信号的DTFT
- 3. 用DFT分析连续周期信号CFS
- 4. 用DFT分析连续非周期信号的CFT
- 从Parseval定理的角度理解四种Fourier分析频域的物理意义
- 1. FS
- 2. FT
- 3. DFS
- 4. DTFT
连续性与周期性
时域连续，频域非周期。时域离散，频域周期。
带限与时限
时限相当于加窗，与窗函数相乘，对应频域与Sa函数卷积，因此时限一定有无穷的频谱。同样，带限信号一定是非因果的，一定有无穷的时域。所以加窗一定有频谱泄露，选择合适的窗函数可减少频谱泄露。
周期化与离散化
时域周期化，一定对应着频域的离散化，而周期T（对于非时限信号，T为截断的时间）与频谱离散化的频率分辨率W0有这样的关系：
T=2πw0T=\dfrac{2\pi}{w_0}T=w02π
可据此计算，当给定频率分辨率时，如何截取信号才能保证。
时域离散化，即抽样，对应着频域的周期化，此时要考虑频谱混叠的问题。同样，抽样时间间隔Ts与频谱周期Ws有这样的关系：
Ts=2πwsT_s=\dfrac{2\pi}{w_s}Ts=ws2π
可据此计算，当给定频率上限时，选取多少个样本点可保证频谱信息不丢失。
所以离散频谱的间隔（分辨率）等于时域的基频，周期频谱的周期等于抽样频率。
四种信号的Fourier分析
Fourier分析的本质是信号的频域分解，即将信号视为不同频率成分的叠加。这也是积分变换的本质。积分变换就是将函数x(t)写为积分（求和）形式，不同的核就形成不同的积分变换，而核的系数就是我们要找的频域成分。
1. FS：连续周期信号各频率复振幅
将连续周期信号x(t)写为：
x(t)=∑i=−∞∞Xkejwtx(t)=\displaystyle\sum_{i=-∞}^{∞}X_ke^{jwt}x(t)=i=−∞∑∞Xkejwt
显然，Xk具有清晰的物理意义：复振幅。Xk的计算方法：
Xk=1T∫−T/2T/2x(t)e−jwtdtX_k=\dfrac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jwt}dtXk=T1∫−T/2T/2x(t)e−jwtdt
这就是傅里叶级数FS
2. DFS：离散周期信号各（数字）频率分量的复振幅
将离散周期信号x[n]写为
x[n]=∑k=0N−1X[k]ejkΩ0nx[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{jk\Omega_0n}x[n]=∑k=0N−1X[k]ejkΩ0n
X[k]同样具有清晰的物理意义复振幅。
X[k]=1N∑n=0N−1x[n]e−jkΩ0nX[k]=\dfrac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\Omega_0n}X[k]=N1∑n=0N−1x[n]e−jkΩ0n
这就是离散傅里叶级数DFS。
所以，对于周期信号（连续或离散）的Fourier分析，得到的系数就是各个频率分量的复振幅。对于离散信号，其自变量并不是时间t，而是序列索引n，频域的自变量也不是模拟角频率w，而是数字角频率Ω。其关系为：
Ω0=2πN\Omega_0=\dfrac{2\pi}{N}Ω0=N2π
所以，Ω的频率必定是以2pi为周期的，而X[k]的周期也必然是N。
3. FT：连续非周期信号的频率“成分”
每个频率分量振幅都趋于0，但是其密度为定值。
x(t)=12π∫−∞∞X(ω)ejωtdωx(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omegax(t)=2π1∫−∞∞X(ω)ejωtdω
X(ω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdtX(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dtX(ω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdt
其中系数2pi是由于dω=2πdfd\omega=2\pi dfdω=2πdf。与FS相比，频率“成分”X(w)不再除以T，事实上二者正是“密度”和“抽样冲激”的关系。
4. DTFT：离散非周期信号的频率“成分”
x[n]=12π∫−ππX(Ω)ejΩndΩx[n]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\Omega)e^{j\Omega n}d\Omegax[n]=2π1∫−ππX(Ω)ejΩndΩ
X(Ω)=∑n=−∞+∞x[n]e−jΩnX(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\Omega n}X(Ω)=∑n=−∞+∞x[n]e−jΩn
四种信号的频谱对应关系
连续周期信号，频谱是离散的，每个频率分量可列，截取其中一个周期，成为连续非周期信号，频谱连续，当然每个分量都会趋于0，但是其密度不会趋于0。频谱密度即复振幅除以dw，或者频谱密度除以T就等于振幅。因此，FT与FS有这样的关系：
Xk=1TX(ω)X_k=\dfrac{1}{T}X(\omega)Xk=T1X(ω)
显然，如果是连续非周期信号进行周期延拓，频谱密度会趋于无穷大（冲激），而复振幅会趋于有限。事实上，频域会被离散化。每个点周期信号的FT（频谱密度）等于主值区间FT的抽样，再乘以冲激强度2pi（正余弦信号的频谱冲激强度）
X(ω)=2πT∑k=−∞+∞X0(kω0)δ(ω−kω0)X(\omega)=\dfrac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_0(k\omega_0)\delta(\omega-k\omega_0)X(ω)=T2π∑k=−∞+∞X0(kω0)δ(ω−kω0)
连续周期信号进行时域的抽样，得到离散周期信号，对应频域周期化（N，实际上由于2pi/Ω0=N，数字角频率周期为2pi），幅值应为原来的1/Ts，因为从能量角度来考虑，抽样后，Ts时间内只有1个时刻有能量。即
X(ω)=1Ts∑k=−∞+∞X(ω−kωs)X(\omega)=\dfrac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X(\omega-k\omega_s)X(ω)=Ts1∑k=−∞+∞X(ω−kωs)
或
CET(x(t))=TsDTFT(x[n])CET(x(t))=T_sDTFT(x[n])CET(x(t))=TsDTFT(x[n])
总结为，连续时间信号的周期化与截断，分别对应频谱的抽样冲激和密度。周期延拓后的傅里叶变换，等于谐波频率处的抽样，强度为傅里叶系数的2pi倍，也就是主值区间傅里叶变换的2pi/T倍数。连续时间信号的离散化（抽样），等于原频谱进行周期延拓再除以Ts。
DFT与四种Fourier分析的关系
DFT定义为，DTFT的频域抽样，N点DFT与频域抽样关系如下
Ω0=2πN\Omega_0=\dfrac{2\pi}{N}Ω0=N2π
1. 用DFT分析离散周期信号的DFS
DFT是DFS标度因子N的换位，所以，截取一个周期N个点进行DFT运算，得到的值除以N即DFS
DFS(x[n])=1NDFT(x[n])DFS(x[n])=\dfrac{1}{N}DFT(x[n])DFS(x[n])=N1DFT(x[n])
2. 用DFT分析离散非周期信号的DTFT
由于DFT是DTFT的抽样，所以只要用有限的x[n] (若非时限，则截取N个点)进行N点DFT，得到的值一定包络于DTFT中。只要N足够大就可以得到DTFT信息。
3. 用DFT分析连续周期信号CFS
取x(t)的一个周期，抽样，在进行DTFT，得到的结果等于Ts*DFT，抽样对应Ts系数，取主值对应FT与FS的联系（FS(x(t))=X(w)/T）.于是所求的FS(xt)就可以表示为
CFS(x(t))=X(ωk)T=TsTDFT(x[n])=1NDFT(x[n])CFS(x(t))=\dfrac{X(\omega_k)}{T} =\dfrac{T_s}{T}DFT(x[n])=\dfrac{1}{N}DFT(x[n])CFS(x(t))=TX(ωk)=TTsDFT(x[n])=N1DFT(x[n])
4. 用DFT分析连续非周期信号的CFT
首先面临截断，频谱泄露的问题，应根据频率分辨率确定截断长度T.
然后确定采样点数（采样周期，抽样频率），应根据频率上限或者要保证不丢失的频率上限确定。此时就讲x(t)转化为了合适的x[n]，从而转化为DTFT的分析。对x[n]再进行DFT，结果包络于DTFT。同样的，该结果乘以Ts就等于X(w)的抽样，即
X(ωk)→TsDTFT(x[n])∣kω=TsDFT(x[n])X(\omega_k)→T_sDTFT(x[n])|_{k\omega}=T_sDFT(x[n])X(ωk)→TsDTFT(x[n])∣kω=TsDFT(x[n])
从Parseval定理的角度理解四种Fourier分析频域的物理意义
这里只给出公式，我们可以从“能量与功率”，“求和与积分”方面进行区分理解。
1. FS
P=1T∫−T/2T/2x(t)x∗(t)dt=∑−∞+∞∣Xk∣2P=\dfrac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}x(t)x^*(t)dt=\sum_{-\infty}^{+\infty}|X_k|^2P=T1∫−T/2T/2x(t)x∗(t)dt=∑−∞+∞∣Xk∣2
2. FT
W=∫−∞+∞∣x(t)∣2dt=12π∫−∞+∞∣X(ω)∣2dωW=\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(\omega)|^2d\omegaW=∫−∞+∞∣x(t)∣2dt=2π1∫−∞+∞∣X(ω)∣2dω
3. DFS
P=1N∑n=0N−1∣x[n]∣2=∑k=0N−1∣X[k]∣2P=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2=\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2P=N1n=0∑N−1∣x[n]∣2=k=0∑N−1∣X[k]∣2
4. DTFT
W=∑n=−∞+∞∣x[n]∣2=12π∫−π+π∣X(Ω)∣2dΩW=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}|X(\Omega)|^2d\OmegaW=n=−∞∑+∞∣x[n]∣2=2π1∫−π+π∣X(Ω)∣2dΩ
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