公众号公式总结

信号与系统：研究时域连续的模拟信号

一、线性时不变系统（LTI）
- 3.1 我们研究的是什么
- - 信号
  - LTI系统
  - 卷积、微分方程、差分方程
  - 系统函数
- 3.3常见的RC滤波器与电路
- - 高通滤波器
  - 低通滤波器
  - 带通滤波器
二、连续傅里叶变换
- 1.连续周期信号傅里叶级数（FS）——频谱F(nw1)
- 2.连续周期信号傅里叶变换(FT)————频谱密度函数F(w)
- - 周期单位冲击信号的FT
- 3.连续非周期信号傅里叶变换(FT)————频谱密度函数F(w)
- - 3.1傅里叶变换的性质
  - 3.2傅里叶级数与非周期傅里叶变换系数互求
- 4.常用小公式
- - 抽样信号
  - 三角波信号的FT
  - 矩形信号（门函数、窗函数）的FT
  - 频域矩形信号的傅里叶反变换
  - 周期矩形信号的傅里叶级数
  - 周期矩形信号的FT
- 5.其他常见信号的傅里叶变换
- - 欧拉公式
  - - 复指数信号、三角函数的FT
    - 冲击信号、冲击偶信号的FT
    - 直流信号的FT
    - 单边指数信号
    - 双边指数信号
    - 符号函数
    - 单位阶跃函数u(t)
三、拉普拉斯变换
- 拉普拉斯变换与傅里叶变换
- 2.1拉普拉斯变换的定义
- 2.2拉普拉斯变换的性质
- 2.3 H(s)零极点分布决定系统单位冲击响应h(t)时域特性
- 2.3 H(s)零极点分布判断系统的频响特性H(jw)
四、简单z变换

一、线性时不变系统（LTI）

3.1 我们研究的是什么

信号

无限长的信号：
理论研究中存在而现实中没有，其中研究最多的是周期信号

有限长的信号：
满足绝对可和的非周期信号是傅里叶变换的研究重点

LTI系统

系统就是函数
不同之处在于函数研究对于不同的自变量取值因变量是什么样的
系统多了一个自变量时间，系统输入输出的变量都自带时间属性
也可以说是研究两个因变量之间的函数关系

线性系统：y(t)=kx(t),x(t)扩大多少倍，y(t)就扩大多少倍,且可以叠加
正比例函数：y=kx,自变量x扩大多少倍，因变量就扩大多少倍，且可以叠加

时不变系统：输入波形平移多少，输出波形就平移多少
输入波形从0到第5秒，输出波形是1到第6秒
则若在第6秒再次输入波形，输出波形在第7秒再次出现

卷积、微分方程、差分方程

连续卷积与离散卷积
解方程专题（各学科：高数、线代、专业课）

系统函数

3.3常见的RC滤波器与电路

电容通高频阻低阻，通交流隔直流

在基本的RC滤波电路中：C做输出端就是低通滤波器，R做输出就是高通滤波器
考虑一个连续的过程，当电源频率由0变大时，电阻逐渐分压
在高通电路中，电阻两端的电压由0慢慢变大，因而高通
而在低通电路中，电容两端电压由大变小，因而低通

基本原理是，当电容和电阻串联时
若电源为直流电（f=0 ），由于电容的隔直作用，故只有电容两端有电压，而电阻两端的电压为0，
若电源为交流电（f>0 ），电容导通，频率越高导通阻抗越小，因而高通

高通滤波器

低通滤波器

带通滤波器

二、连续傅里叶变换

1.连续周期信号傅里叶级数（FS）——频谱F(nw1)

有幅度频谱图与相位频谱图

周期越大，频谱越密集
复数F(nw1)=信号余弦分量实部+信号正弦分量虚部
偶函数傅里叶级数不含正弦项，F(nw1)为实函数（幅度谱就是频谱）
奇函数傅里叶级数不含余弦项，F(nw1)为虚函数

2.连续周期信号傅里叶变换(FT)————频谱密度函数F(w)

注：
理论上只有满足绝对可和条件的非周期信号才能傅里叶变换
不满足绝对可和条件的非周期信号无法进行傅里叶变换
不满足绝对可和条件的周期信号（不绝对可和）无法进行傅里叶变换
实际中因为正余弦周期信号都有傅里叶变换，普通周期信号可以先求傅里叶级数转化成很多正弦信号的和，再对傅里叶级数傅里叶变换

周期单位冲击信号的FT

3.连续非周期信号傅里叶变换(FT)————频谱密度函数F(w)

物理意义:f(t)分解成无穷多个连续的频率不同的振幅无穷小的正弦信号
——在某个具体频率w处频谱是1/TF(w)= F(w)dw/2pi,T是无穷大周期
频谱1/TF(w)无穷小，频谱密度F(w)有限值

3.1傅里叶变换的性质

8.奇偶虚实性
f(t)偶函数，只有R(w),相位±兀
f(t)偶函数，只有X(w),相位±兀/2

3.2傅里叶级数与非周期傅里叶变换系数互求

非周期如果当做是周期的一部分
非周期傅里叶变换除以有限长度，得到周期信号傅里叶级数系数！(周期频谱)
非周期傅里叶变换除以无限长度，得到非周期傅里叶级数系数！（非周期频谱）

求周期傅里叶变换：3步
1.求非周期傅里叶变换
2.求周期傅里叶级数(上面的转换法)
周期的傅里叶变换系数F(nw1)=非周期的傅里叶变换F(w)除以有限周期（w换成nw1）
3.求周期傅里叶变换：对级数形式做傅里叶变换
FT(ω)=级数和F（nw1）乘以2πδ(w−nw1)）F _T(ω)=级数和F（nw1）乘以2\pi\delta(w-nw_1)）FT(ω)=级数和F（nw1）乘以2πδ(w−nw1)）
？有点像那个能量、功率信号那个意思

4.常用小公式

抽样信号

三角波信号的FT

矩形信号（门函数、窗函数）的FT

频域矩形信号的傅里叶反变换

周期矩形信号的傅里叶级数

周期矩形信号的FT

5.其他常见信号的傅里叶变换

欧拉公式

复指数信号、三角函数的FT

ejw0t<——>2πδ(w−w0)e^{jw_0t}<——>2\pi\delta(w-w_0)ejw0t<——>2πδ(w−w0)
e−jw0t<——>2πδ(w+w0)e^{-jw_0t}<——>2\pi\delta(w+w_0)e−jw0t<——>2πδ(w+w0)
cosw0t<——>π[δ(w+w0)+δ(w−w0)]cosw_0t<——>\pi[\delta(w+w_0)+\delta(w-w_0)]cosw0t<——>π[δ(w+w0)+δ(w−w0)]
sinw0t<——>jπ[δ(w+w0)−δ(w−w0)]sinw_0t<——>j\pi[\delta(w+w_0)-\delta(w-w_0)]sinw0t<——>jπ[δ(w+w0)−δ(w−w0)]

冲击信号、冲击偶信号的FT

δ(t)<——>1\delta(t)<——>1δ(t)<——>1

直流信号的FT

1<——>2πδ(w)1<——>2\pi\delta(w)1<——>2πδ(w)
E<——>2πEδ(w)E<——>2\pi E\delta(w)E<——>2πEδ(w)

单边指数信号

双边指数信号

其他推导链接

符号函数

sgn(t) 2/jω

单位阶跃函数u(t)

三、拉普拉斯变换

拉普拉斯变换与傅里叶变换

2.1拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯变换是给信号指数级衰减（大小收敛域实部），信号进行傅里叶变换的结果

收敛域是给信号收敛域实部对应的衰减可以使信号收敛的区域
极点是使信号拉普拉斯变换结果趋向无穷的点，变换的结果不是有限值

s负半平面是给信号增长趋势，极点位于左半平面说明给信号一定程度的增长都可以使得信号收敛
s正半平面是给衰减衰减趋势，极点位于右半平面必须给予信号衰减才能使得信号收敛
s=0是不对信号做变化，极点在原点信号不收敛，应该衰减才能使信号收敛

2.2拉普拉斯变换的性质

2.3 H(s)零极点分布决定系统单位冲击响应h(t)时域特性

2.3 H(s)零极点分布判断系统的频响特性H(jw)

H(jw)变换成零极点类型，根据零极点大致判断H(jw)的频响特性曲线
s复平面两种形式：直角坐标，极坐标
jw是在虚轴上移动的点，从0到正无穷
分子变成零点矢量，由零点指向虚轴上的点
分母变成极点矢量，由极点指向虚轴上的点

四、简单z变换

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