初等变换：通过初等行(列同理)变换把增广矩阵变为简化阶梯型矩阵的线性方程组求解算法

具体步骤：

枚举每一列，找到枚举的当前列绝对值最大数的所在行
将该行换到最上面一行(第r行)
将该行第一个数(该行第c列元素)消成1
将该行第一个元素(该行第c列元素)下面的所有非零元素消成0
重复上面的操作，直到枚举到最后一列，把矩阵消成简化阶梯型矩阵

1.初等变换基本操作

2.具体函数实现

枚举每一列

找到枚举当前列绝对值最大的数的所在行 (ps：fabs函数:求绝对值函数)

将绝对值最大的所在行换到最上面一行(第r行)

将该行第一个数消成1

将该行第一个元素(该行第c列元素)下面的所有非零元素消成0

整体代码

1.初等变换基本操作

复习：

用一个非零的数乘某一行
把其中一行的若干倍加到另一行上
交换两行的位置

在函数实现的时候无形之中会用到如上的三条操作，以下就不再证明。

2.具体函数实现

枚举每一列

for (c = 0, r = 0; c < n; c++)

找到枚举当前列绝对值最大的数的所在行 (ps：fabs函数:求绝对值函数)

int t = r;for (int i = r + 1; i < n; i++)if (fabs(a[t][c]) < fabs(a[i][c]))t = i;

如果该列全为0，continue直接让c++(跳过这一列，开始处理下一列)

ps：由于浮点数加减乘除时候会有精度问题，所以这里认定：如果浮点数 < eps(eps是一个很小的数，其值为1e-6)，就认为该浮点数的值为0

< eps 代表 == 0 ，> eps 代表非零

if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;

将绝对值最大的所在行换到最上面一行(第r行)

for (int i = c; i <= n; i++)  swap(a[t][i], a[r][i]);

将该行第一个数消成1

注意：这里需要倒着消，最后在处理第一个数 (如果先处理第一个数，后面的数就都是除1)

for (int i = n; i >= c; i--)    a[r][i] /= a[r][c];

将该行第一个元素(该行第c列元素)下面的所有非零元素消成0

for (int i = r + 1; i < n; i++)if (fabs(a[i][c]) > eps) // 保证消的都是非零元素for (int j = n; j >= c; j--)a[i][j] -= a[i][c] * a[r][j];

最后让r++，代表这一行已经处理完了，不再参与后面的运算(非常重要)

r++;

进行完如上操作之后，该矩阵就变成了阶梯型矩阵(共有如下几种情况)

1.完美的阶梯型矩阵

例如：

最右侧一列为常数列

由最后一行可以直接得出x3 == 1

将x3往上代入就可以依次求解出x2和x1

可以将向上代入得过程等价于把矩阵化成简化阶梯型矩阵(类对角形矩阵)

此时常数列的值对应的就是x1 x2 x3的值(如图 x1 == 3 ，x2 == 1， x3 == 1)

for (int i = n - 1; i >= 0; i--)for (int j = i + 1; j < n; j++)a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];

此处代码非常抽象，下面用图解的方法帮助理解

从下往上消，将阶梯型矩阵消成简化阶梯型矩阵(类对角型矩阵)

由于x3的系数是1，所以1上面的2(a[i][j])就是要乘的倍数

a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n]

以此类推

2.不完美的阶梯型矩阵

x的取值一共有两种情况：0或非0

在讨论之前先了解一个概念：

方程个数 < 未知数的个数 -> 此方程有无穷多组解

方程个数 = 未知数的个数 -> 此方程有唯一解

矩阵化简得过程出现了等式左右不相等的情况 -> 此方程无解

若x == 0 ，最后一行相当于是一个恒等式0 == 0 ，此时方程个数 < 未知数的个数，方程有无穷多组解

若x != 0，最后一行出现了等式左右不相等的情况，此方程无解

if (r < n)//不完美的阶梯型矩阵{for (int i = r; i < n; i++)if (fabs(a[i][n]) > eps)return 2; // 无解return 1; // 无穷多组解}
//r == n 的情况  往上代入把矩阵化为简化阶梯型矩阵for (int i = n - 1; i >= 0; i--)for (int j = i + 1; j < n; j++)a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];return 0;//唯一解

返回2代表无解，返回1代表无穷多组解，返回0代表唯一解

整体代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 110;
double a[N][N];
int n;
const double eps = 1e-6;
int gauss()
{int c, r;for (c = 0, r = 0; c < n; c++){int t = r;for (int i = r + 1; i < n; i++)if (fabs(a[t][c]) < fabs(a[i][c]))t = i;if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;for (int i = c; i <= n; i++)   swap(a[t][i], a[r][i]);for (int i = n; i >= c; i--)    a[r][i] /= a[r][c];for (int i = r + 1; i < n; i++)if (fabs(a[i][c]) > eps)for (int j = n; j >= c; j--)a[i][j] -= a[i][c] * a[r][j];r++;}if (r < n){for (int i = r; i < n; i++)if (fabs(a[i][n]) > eps)return 2; // 无解return 1; // 无穷多组解}for (int i = n - 1; i >= 0; i--)for (int j = i + 1; j < n; j++)a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];return 0;
}
int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++)for (int j = 0; j < n + 1; j++)cin >> a[i][j];int t = gauss();if (t == 0){for (int i = 0; i < n; i++){if (fabs(a[i][n]) < eps) a[i][n] = 0;printf("%.2lf\n", a[i][n]);}}else if (t == 1) puts("Infinite group solutions"); // 无穷多组解else puts("No solution");//无解return 0;
}

示例：

结果x1 == 1，x2 == -2，x3 == 3

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整体代码

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