最短路问题之单源最短路-Dijkstra算法
一个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，叫做单源最短路经。
例如求下图中的1号顶点到2,3,4,5,6号顶点的最短路径。
使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下表。
| e | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 0 | 1 | 12 | inf | inf | inf |
| 2 | inf | 0 | 9 | 3 | inf | inf |
| 3 | inf | inf | 0 | inf | 5 | inf |
| 4 | inf | inf | 4 | 0 | 13 | 15 |
| 5 | inf | inf | inf | inf | 0 | 4 |
| 6 | inf | inf | inf | inf | inf | 0 |
我们还需要用一个一维数组dis来存储1号点到其余各个顶点的初始路程。
dis数组：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 0 | 1 | 12 | inf | inf | inf |
此时将dis数组中的值成为最短路程的“估计值”。
既然是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。
通过是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当离1号顶点最近的是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就从”估计值“变成了”确定值“，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值（因为目前离1号顶点最近的是2号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得1号顶点到2号顶点的路程进一步缩短了）。
既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边。有2->3和2->4这两条边。先讨论通过2->3这条边能否让1号顶点到3号顶点的路程变短，也就是说来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程；dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边。所以dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，在通过2->3这条边，到达3号顶点的路程。
我们发现dis[3] = 12, dis[2]+e[2][3] = 1+9 = 10, dis[3]>dis[2] + e[2][3],因此dis[3]要更新为10.这个过程有个专业术语叫做”松弛“，1号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，通过2->3这条边松弛成功。这便是Dijkstra算法的主要思想：通过”边“来松弛1号顶点到其余各个顶点的路程。
同理，通过2->4（e[2][4]），可以将dis[4]的值从inf松弛为4（dis[2]+e[2][4] = 4, dis[4] > dis[2] + e[2][4]）
对2号顶点所有的出边进行了松弛，松弛完毕之后dis数组为：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| dis | 0 | 1 | 10 | 4 | inf | inf |
接下来，继续在剩下的3,4,5和6号顶点中，选出离1号，顶点最近的顶点。通过上面更新过的dis数组，当前离1号顶点最近的是4号顶点，此时，dis[4]的值已经从”估计值“变成了”确定值“。下面继续对4号顶点的所有出边（4->3,4->5,4->6）进行松弛操作，松弛之后的dis数组为：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| dis | 0 | 1 | 8 | 4 | 17 | 19 |
继续在剩下的3,5,6,号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选出3号顶点（3->5）进行松弛操作：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| dis | 0 | 1 | 8 | 4 | 13 | 19 |
这次选出5号顶点，对5号所有的出边（5->6）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| dis | 0 | 1 | 8 | 4 | 13 | 17 |
最后对6号顶点的所有出边进行松弛。因为6号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis数组中所有的值都已经从”估计值“变成了”确定值“。dis数组如下，这便是从1号顶点到其余各个顶点的最短路径：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| dis | 0 | 1 | 8 | 4 | 13 | 17 |
算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子源点就是1号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下：
1.将所有的顶点分成两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们用一个book数组来记录哪些点再集合P中。book[i]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[i]为0则表示这个顶点在集合Q中。
2.设置源点s到自己的最短路径为0即dis[s]=0.若存在有源点能直接到达的顶点i，则把dis[i]设为e[s][i]。同时把所有其他顶点的最短路径设为inf。
3.在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。
4.重复第三步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。
完整的Dijkstra算法代码如下：
#include <stdio.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
int dis[105];
int book[105];
int e[105][105];
int main() {int n, m; int u, v, w;//读入n个顶点和m条边 scanf("%d %d", &n, &m);//初始化，顶点自身为0 for(int i = 1; i <= n; i++) {for(int j = 1; j <= n; j++) {if(i == j) e[i][j] = 0;else e[i][j] = inf;}}//读入边，这里是单向边（根据题意定） for(int i = 1; i <= m; i++) {scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);e[u][v] = w;//}//这里是1号顶点到其余各个顶点的初始路程 for(int i = 1; i <= n; i++) {dis[i] = e[1][i];}//初始化book数组 for(int i = 1; i <= n; i++) book[i] = 0;book[1] = 1;//Dijkstra算法核心语句 for(int i = 1; i <= n; i++) {//找到离1号顶点最近的顶点 int mn = inf, p = -1;for(int j = 1; j <= n; j++) {if(!book[j] && mn > dis[j]) {p = j;mn = dis[j];}}if(p == -1) break;//表示没有边可以进行松弛，直接跳出循环。 book[p] = 1;for(int j = 1; j <= n; j++) {if(book[j]) continue;if(dis[j] > (dis[p] + e[p][j])) {dis[j] = dis[p]+e[p][j];}}}//输出最终结果 for(int i = 1; i <= n; i++) {printf("%d ", dis[i]);}return 0;
}通过上面的代码可以发现，这个算法的时间复杂度是O（N^2）。也可以用堆优化达到O(MlogN)，用邻接表代替邻接矩阵，使得整个时间复杂度优化到O(M+N)logN。Dijkstra一般解决稠密图（和顶点关系密切），但是无法解决负边权问题（就是边权值为负数）。如果有负边权最好是用Bellman-Ford算法了。
邻接表加优先队列的Dijkstra。
#include <queue>
#include <vector>
#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
const int maxn = 1e6+6;
int dis[maxn];
int U[maxn], V[maxn], W[maxn];
struct node{int id,dist;node(){}node(int Id,int Dist){id=Id;dist=Dist;}bool operator < (const node& a) const{if(dist==a.dist){return id<a.id;}return dist>a.dist;}
};vector<node> v[maxn];void init(int n) {for(int i=1;i<=n;i++) {dis[i]=inf;v[i].clear();}
}void Dijkstra(){node pre, nex;dis[1] = 0;pre.id = 1;pre.dist = 0;priority_queue<node> que;while(!que.empty()) que.pop();que.push(pre);while(!que.empty()){pre = que.top();que.pop();for(int i = 0; i < v[pre.id].size(); i++){nex = v[pre.id][i];if(dis[nex.id] > pre.dist + nex.dist){dis[nex.id] = pre.dist + nex.dist;que.push(node(nex.id , dis[nex.id]));}}}
}int main() {int n,m;scanf("%d %d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++) {scanf("%d %d %d",&U[i],&V[i],&W[i]);}init(n);//初始化 for(int i = 1; i <= m; i++) {v[U[i]].push_back(node(V[i], W[i]));}Dijkstra();for(int i = 1; i <= n; i++)printf("%d ", dis[i]);return 0;
}以上内容参考《挑战程序设计竞赛》，《啊哈算法》。
最短路问题之单源最短路-Dijkstra算法相关推荐
- 单源最短路——dijkstra算法
Dijkstra算法 1.定义概览 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径.主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止. 问 ...
- 单源最短路 Dijkstra算法 和 SPFA算法
单源最短路 •从一个点出发,到达其他顶点的最短路径的长度. •基本操作:松弛 •d[u]+map[u, v]< d[v]这样的边(u,v)称为紧的(tense),可以对它进行松弛(relax): ...
- 【POJ - 2387】 Til the Cows Come Home（单源最短路Dijkstra算法）
题干: Bessie is out in the field and wants to get back to the barn to get as much sleep as possible be ...
- 单源最短路 dijkstra算法模板
链接: 模板题 不能处理带负边权的情况 /* 邻接矩阵存图 1.从源点开始每次选取一个离点集距离最近的点t 添加到集合中 2.利用t点对集合中的点进行松弛操作,进行更新 时间复杂度o(n²) */ # ...
- 算法百题斩其三： 单源最短路与算法——其一
算法百题斩其三: 单源最短路与算法--其一 写在前面:何所谓"斩"? 斩,即快速而有力地切断,指我们用最精简的语言,一针见血地点破算法题的核心难点.斩需三思而后行:斩需借助外力.旁 ...
- 图的单源最短路径：Dijkstra算法实现
本文介绍的是图的非负权值的单源最短路径问题.问题的提出是,对于有权图D,t提供源点v,要找到从v到其他所有点的最短路径,即单源最短路径问题,在本文中,解决这一问题,是普遍比较熟悉的Dijkstra算法 ...
- dijkstra算法PHP,单源最短路径（dijkstra算法）php实现
做一个医学项目,其中在病例评分时会用到单源最短路径的算法.单源最短路径的dijkstra算法的思路如下: 如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj),Vk是Vj前面的一顶点.那么(Vi ...
- NOWCODER 吃火锅(单源最短路dijkstra（）算法)
链接:https://ac.nowcoder.com/acm/problem/213225 来源:牛客网 题意: 有n个城市,m条双向道路. 第i条路线可用于从城市v[i]到城市u[i](以及从u[i ...
- C语言基本数据结构之三（图的广度及深度遍历，求单源最短路径的Dijkstra算法）
上一篇主要讲了二叉树的先序,中序,后序遍历算法以及深度和节点的算法,这篇就讲一讲图的基本算法. 一.图的基本概念 1.1有向图G1: 有向图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的,其中:V(G)是顶点 ...
最新文章
- 数据挖掘入门指南！！！
- 车辆行人检测数据集_开源 | 相机和激光雷达融合的行人车辆检测跟踪
- 第二十五篇 hashlib模块(* *)
- H面试程序（29）：求最大递增数
- 关于java.lang.ArithmeticException: divide by zero的异常
- 神器推荐！在浏览器中运行 VS Code，随时随地写代码
- 阿里合伙人名单曝光；百度网盘回应“不买会员限速”；库克：不担心苹果在华表现 | 极客头条...
- SPSS异常值处理（图文+数据集）【SPSS 010期】
- 【笔记】深入理解 Java 虚拟机：类文件结构
- Jmeter性能测试面试基础问答
- 《白说》---- 读书笔记
- 麻省理工大学计算机中心,Massachusetts Institute of Technology 麻省理工大学
- 高等代数--线性空间
- Contest 1479 2018-ZZNU-ACM集训队 夏季队内积分赛 （3）K题（易水寒）
- 获取网页视频，日常下载工具推荐——XDM
- 小鸡饲料任务，线下扫码付款收饲料地址
- mac book pro 安装网络准入后经常死机
- 记录学习向量的铭心刻骨的句子
- shiro中基于注解实现的权限认证过程
- STM32学习（一）