杀狗问题（帽子问题）

说IBM 、微软都曾用过该题做面试题，觉得经典，就收藏之。

原题如下：某村50户、每户养一犬，其必有瘟者，令每朝观犬，发现瘟者，立毙之，非犬主不可弑之。然主唯己犬不辨，且互默。首日，平；翌日，平；三日，枪声四起。问犬死几何？
　　意思是某村50户，每户养一只狗，现在知道其中有狗生病了，要将病狗杀掉。只有主人才能杀自己的狗，但主人不能看自己的狗，且各主人之间不能互想交流。前两天平静，第三天枪声四起，问杀死了多少只狗？

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先给出引理：如果存在 n 只病犬，必在第 n 天被杀。
下面用数学归纳法证明：

① 令 n = 1(存在 1 条病狗)
     对于病犬主人，第一天，能看到49只正常狗
     因“必有瘟者”，断定自己的狗为瘟者，杀之
     所以，当存在 1 条病狗时结论成立

② 假设病狗数为 K 时，必在第 K 天被杀

③ 病狗数为 k+1 时
     第 K+1 天，因前 K 天未杀狗，根据 ② 知病狗数 > k
     而此时每个主人已看到 50-(K+1) 条好狗, 且主人能看到 K 条病狗(自己的一条看不到)，所以病狗数 <= K+1
     由此得知病狗数为 K+1
     因有看到的只有 K 条，故断定自己的狗为病狗，可杀之
     所以病狗会在第 K+1 天被杀

由 ①、②、③ 可知“如果存在 n 只病犬，必在第 n 天被杀”结论成立。

因该结论为可逆命题，故得出：如果在第n天杀狗，必存在n只病狗。
所以原题中第3天杀狗，定存在3只病狗，故杀死3只狗。解毕。

另注帽子问题：一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。
每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。
主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。
第一次关灯，没有声音。
于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。
一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。
-----------------------问有多少人戴着黑帽子？

解法类似上面所答。

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